Đánh giá và mô phỏng các hệ số đàn hồi đa tintinh thể hỗn độn

Nội dung tài liệu: Đánh giá và mô phỏng các hệ số đàn hồi đa tintinh thể hỗn độn

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VƢƠNG THỊ MỸ HẠNH ĐÁNH GIÁ VÀ MÔ PHỎNG CÁC HỆ SỐ ĐÀN HỒI ĐA TINH THỂ HỖN ĐỘN Chuyên ngành: Cơ học vật rắn Mã số: 9440107 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ NGÀNH CƠ HỌC Hà Nội - 2020
2. Công trình được hoàn thành tại: Học viện Khoa học và Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam. Người hướng dẫn khoa học 1: GS. TSKH. Phạm Đức Chính Người hướng dẫn khoa học 2 : TS. Lê Hoài Châu Phản biện 1: GS. TS. Phạm Chí Vĩnh Phản biện 2: PGS. TS. Lã Đức Việt Phản biện 3: PGS. TS. Trần Bảo Việt Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng đánh giá luận án tiến sĩ cấp Học viện, họp tại Học viện Khoa học và Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam vào hồi giờ ’, ngày tháng năm 2020 Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Học viện Khoa học và Công nghệ - Thư viện Quốc gia Việt Nam
3. 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do lựa chọn đề tài a. Nguyên nhân khách quan Vật liệu đa tinh thể đang được sử dụng nhiều trong mọi lĩnh vực của đời sống con người. Hướng nghiên cứu các hệ số đàn hồi của vật liệu này đã có nhiều kết quả giải tích tiêu biểu: Voigt, Ruess, Hill, Hashin-Strikman, Phạm Đức Chính Tuy nhiên kết quả PTHH chưa nhiều. Câu hỏi đặt ra là: những đánh giá trên có phải là tốt nhất, có thể xây dựng các kết quả giải tích tốt hơn, tính toán phần tử hữu hạn (PTHH) cụ thể như thế nào, liệu có khác biệt nhiều so với các kết quả giải tích đã có? b. Nguyên nhân chủ quan Đồng nhất hóa vật liệu là hướng nghiên cứu lâu năm của thầy hướng dẫn Phạm Đức Chính cùng nhóm Cơ học Vật liệu với nhiều kết quả công bố. NCS đã hoàn thành luận văn thạc sỹ về đồng nhất hóa hệ số dẫn nhiệt vật liệu tổ hợp đẳng hướng. Do đó, NCS chọn đề tài “Đánh giá và mô phỏng các hệ số đàn hồi vật liệu đa tinh thể hỗn độn” làm luận án nghiên cứu. 2. Mục tiêu, phƣơng pháp nghiên cứu của luận án a. Mục tiêu: tìm ra các đánh giá tốt hơn các đánh giá đã có, đưa ra được các kết quả so sánh đánh giá giải tích và PTHH cụ thể. b. Phương pháp: sử dụng đường hướng năng lượng và áp dụng đồng thời phương pháp giải tích và phương pháp số. 3. Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu của luận án a. Đối tượng: các hệ số đàn hồi vĩ mô của đa tinh thể d chiều. b. Phạm vi: Đối với các đánh giá, luận án xét vật liệu đa tinh thể d chiều; Đối với mô phỏng số, luận án chỉ xét các đa tinh thể 2D với dạng hình học hexagonal của các tinh thể.
4. 2 4. Những đóng góp mới của luận án a. Lý thuyết: Các trường khả dĩ, các đánh giá và các kết quả tính toán cụ thể cho các mô đun đàn hồi vĩ mô vật liệu đa tinh thể d chiều là mới và tốt hơn so với các đánh giá trước đây. b. Mô phỏng số: Kết quả và chương trình tính PTHH cho mô đun đàn hồi của các đa tinh thể square, orthorhombic, tetragonal với hướng tinh thể hỗn độn là mới. 5. Bố cục luận án Chương 1: Trình bày lịch sử phát triển và phương pháp nghiên cứu các hệ số đàn hồi đa tinh thể của các tác giả đi trước. Chương 2: Dùng đường hướng biến phân để xây dựng các đánh giá cho các hệ số đàn hồi vĩ mô tổng quát. Chương 3: Áp dụng kết quả Chương 2 cho các lớp đa tinh thể 2D, 3D; Tính toán và so sánh với các đánh giá V-R, HS, PĐC, SC, luận án và nhận xét. Chương 4: Áp dụng PTHH để mô phỏng các giá trị mô đun đàn hồi vĩ mô 2D, so sánh với các kết quả đánh giá và nhận xét. CHƢƠNG 1: TỔNG QUAN 1.1. Tổng quan về vật liệu đa tinh thể Vật liệu đa tinh thể được cấu tạo từ những đơn tinh thể thường có sắp xếp hỗn độn với hình học không gian xác định. Hình 1.2: Mô hình vật liệu đa tinh thể hỗn độn 1.2. Lịch sử nghiên cứu các hệ số đàn hồi vật liệu đa tinh thể 1.2.1. Sơ lược quá trình phát triển hướng nghiên cứu Cách tiếp cận phổ biến là sử dụng phương pháp biến phân, các giả thuyết về đẳng hướng thống kê và đối xứng hình học cơ
5. 3 sở đã giúp thu hẹp các biên đánh giá từ bậc một đến bậc hai và bậc ba. Thực nghiệm chỉ ra rằng giá trị mô đun đàn hồi vĩ mô phân tán gần như thống nhất trong một khoảng so với các đánh giá bậc ba. Do đó các đánh giá bậc ba là đánh giá tốt nhất cho tính chất vĩ mô của đa tinh thể cũng như vật liệu tổ hợp. 1.2.2. Các đánh giá điển hình a. Đánh giá Voigt- Ruess- Hill (đánh giá bậc một) eff eff k , là mô đun đàn hồi khối và trượt vĩ mô; kkVVRR,,,là các đánh giá Voigt, Reuss; Cijkl, S ij kl ( i , j , k , l 1, d ) là hệ số đàn hồi cứng và mềm của tinh thể hướng α: 1 1 1 kV 22 C iijj; V C ijij C iijj (1.1) d d d2 d 1 1 41 kR S iijj ;  R 2 S ijij S iijj (1.2) dd 2 d eff eff kVRVR k k ;    (1.3) b. Đánh giá Hashin- Strikman (đánh giá bậc hai) HS với nguyên lý biến phân mới và trường phân cực đã xây dựng đánh giá tốt hơn Hill. Công thức HS cho vật liệu tổ hợp đẳng hướng tổng quát khá phức tạp. Với cubic, đánh giá HS cho U L mô đun khối trên kHS và dưới kHS có dạng đơn giản: 1 kUL k k k 22 C C C (1.5) HS HS V R 9 11 11 33 U L Đánh giá HS cho mô đun trượt trên HS và dưới HS : U eff U L eff L HS P (C ,k ,0 HS ) , HS P (C ,k ,0 HS ) , CCC11 12 2 * ( 44 * ) P (C ,k0 , 0 ) 5 * , 3(CCC11 12 ) 4 44 10 *
6. 4 98k00  U CC11 12 *0 , 0HS max  ,C 44 , 6k00 12  2 L CC11 12 0HS min  ,C 44 . (1.8)  2 c. Đánh giá Phạm Đức Chính (đánh giá bậc ba) Không xuất phát từ nguyên lý HS, nhưng từ các nguyên lý năng lượng cực tiểu và xây dựng trường khả dĩ phân cực tương tự trường HS, PĐC đã tìm được đánh giá hẹp hơn đánh giá HS nhờ thành phần nhiễu chứa thông tin bậc ba về hình học pha của   vật liệu AB , . Đánh giá PĐC cho đa tinh thể hạt cầu có dạng đơn giản: * 4 98k00  CTijkl ij kl (k * , * );k *  0 ;  *  0 (1.10) 3 6k00 12 1 ε0:::): Ceff ε 0 ε 0 C * 1 C * ε 0 , CC0 (1.24)  1 1 1 σ0:()::): Ceff 1 σ 0 σ 0 C * 1 C * σ 0 , CC01 (1.26)  d. Giá trị tự tương hợp (SC) Giá trị SC là nghiệm C0 của phương trình: 1 1 CCC0 * * (1.27) Ưu điểm: tính toán đơn giản, cho kết quả nhanh; Nhược điểm: là giá trị cho mô hình vật liệu lý tưởng (ít gặp trong thực tế) và có nhiều sai số, nên luận án chỉ sử dụng để tham khảo. 1.3. Phƣơng pháp nghiên cứu các hệ số đàn hồi đa tinh thể 1.3.1. Phương pháp giải tích Giải bài toán thông qua việc tìm cực trị các phiếm hàm năng lượng trên RVE. Cụ thể: chọn các trường thử khả dĩ cho biến dạng và ứng suất, đặt vào các phương trình cơ học, với các ràng
7. 5 buộc, biến đổi để nhận được các đánh giá. Đây là phương pháp truyền thống mà V-R, HS, PĐC sử dụng. 1.3.2. Phương pháp số Dùng phương pháp PTHH với các bước tiến hành cơ bản: gieo hướng tinh thể ngẫu nhiên, chia lưới RVE, thiết lập ma trận độ cứng, các phương trình mô tả cân bằng của vật liệu, áp các điều kiện, giải hệ phương trình để nhận được các chuyển vị nút, biến dạng, ứng suất, từ đó tính các hệ số đàn hồi vĩ mô. 1.4. Kết luận chƣơng 1 Việc nghiên cứu các hệ số đàn hồi vật liệu đa tinh thể có ý nghĩa khoa học và thực tiễn cao. Các kết quả giải tích rất phát triển, tuy nhiên kết quả PTHH còn ít công bố. Vì vậy, NCS sử dụng cả 2 phương pháp giải tích và số để nghiên cứu, đồng thời đưa ra các so sánh và kết luận cụ thể. CHƢƠNG 2: XÂY DỰNG ĐÁNH GIÁ MÔ ĐUN ĐÀN HỒI VẬT LIỆU ĐA TINH THỂ HỖN ĐỘN D CHIỀU Chương này sử dụng phương pháp giải tích để xây dựng các đánh giá trên và dưới tổng quát cho mô đun đàn hồi khối và trượt vĩ mô của đa tinh thể d chiều. Những nhận xét cho các đánh giá mới này được trình bày ở cuối chương. 2.1. Cơ sở khoa học 2.1.1. Các hệ số đàn hồi của đơn tinh thể Các tinh thể là dị dướng với tính chất đàn hồi và thường dùng ký hiệu Voigt 2 chỉ số C Cmn, S Smn, mn, 1,6 hoặc Voigt 4 chỉ số C Cijkl , S Sijkl  , i, j , k , l 1, d . 2.1.2. Các hệ số đàn hồi của đa tinh thể Xác định các hệ số đàn hồi theo các công thức sau đây. a. Định luật Hooke
8. 6 Trường ứng suất và trường biến dạng có liên hệ: σ Ceff : ε (2.22) b. Nguyên lý năng lượng cực tiểu 00eff Wdε ε: C : ε inf ε : C : ε x (2.29) εε 0 V với ε thỏa mãn phương trình tương thích. c. Nguyên lý năng lượng bù cực tiểu (với σ cân bằng) 1 0eff 0 1 (2.34) Wdσ σ: C : σ inf σ : C : σ x σσ 0 V 2.2. Mô đun đàn hồi khối vật liệu đa tinh thể d chiều 2.2.1. Các công thức xuất phát Coi RVE có V=1 đơn vị thể tích, v là tỷ lệ thể tích tương ứng của miền VV  . Các tham số thống kê hình học pha bậc ba: 1 Ad   x ,    dx , ij ij ij,, ij ij v V V 1 Bd    x ,      dx . (2.50) ijkl ijkl ijkl,, ijkl ijkl v V V  , là hàm thế điều hòa và song điều hòa. Các tham số hình học f1, f3, g1, g3 chịu ràng buộc: d 1 (dd 13 )( ) ff13 , gg13 (2.52) d dd() 2 d 1 6d2 1 6 f1 0 , f1 g 1 f 1 (2.54) d d 4( d 2 )( d 4 ) d 4 2.2.2. Xây dựng đánh giá trên mô đun đàn hồi khối Trường thử khả dĩ HS chọn có dạng: 3k00  1 ij p kl ,, ijkl p m() i j m ( 2.55 )  0(3k 0 4  0 )  0
9. 7 Trường này chỉ có 2 hệ số tự do k00, , HS biến đổi từ cùng một trường khả dĩ này để dẫn đến đánh giá trên và dưới. Tham khảo trường HS, phân tách phiếm hàm năng lượng của PĐC, luận án chọn các trường thử tổng quát d chiều khác nhau cho đánh giá trên và dưới, cụ thể với đánh giá trên cho k eff : 11n  ε0 a a ba  (2.56) ij ij ik,,, kj jk ki kl ijkl d 1 2 0 trong đó: ε là biến dạng thể tích của vật thể; a aij là các  n hệ số vô hướng tự do chịu ràng buộc v a 0 ; 02 b là 1 tham số vật liệu đa tinh thể. Đặt trường biến dạng khả dĩ vào biểu thức năng lượng cực tiểu, biến đổi ta được: 2 nn 00 W kVK ε 2 ε v C : a v a : A : a (2.60) 11 K 12 b bkV A CK CCij  ij kk 2 1  ij , A Cpq d dd 22 AA' CCDpq pq pq , ' A 11 CCBCCBCCBijkl ijkl 1 ikjl jkil 2 iipp kl klpp ij 3 22 11 CCBCCCCBipjpkl kplp  ij 4 ipkp  jl jpkp  il jplp  ik iplp  jk 5 24 1 CCCCBikppjl jlpp  ik jkpp  il ilpp  jk 6 , 4 1 DDDijkl  ij  kl 1  ik  jl  il  jk 2 , 2 2 D1 kVVV  f 3 F 1 g 3 G 1 f 3 F 2 g 3 G 2 d dd2 2 dkfFgGVVV 3 3 3 3 k  fFgG 3 4 3 4 , d
10. 8 db 1 dd 13 2 F77 G kV , d d d 2 d 2 2 d 2 D2 2VVV f 3 F 1 g 3 G 1 k f 3 F 2 g 3 G 2 d d2 d 21 d kVVV  fFgGdkfFgG3 5 3 5 3 6 3 6 F 8 , dd 2 dd 13 12 b G8 , B1 1 f 1 F 1 g 1 G 1 , dd 2 d 2 d 2 2b 4b2 B2 f 1 F 2 g 1 G 2 , B3 f 1 F 3 g 1 G 3 dd22 2 dd2 2 B4 f 1 F 4 g 1 G 4 , B5 f 1 F 5 g 1 G 5 , B6 f 1 F 6 g 1 G 6 (2.61) Fi, Gi, là các biểu thức liên quan đến thông số của tinh thể. Tìm cực trị (2.60), tối ưu theo các aij chịu ràng buộc (2.59), sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange, ta được: eff Ud Ud -1 k k C,,, f11 g b , kk VKCA :: 1 -1 -1 1 AACCAC :::: KKK (2.63) Tối ưu hóa (2.63) đối với b, các tham số f1, g1 chịu ràng buộc (2.52), (2.54), ta được đánh giá trên: eff Ud k max min K C , f11 , g , b b (2.64) fg11, . Ở đây ta chọn min theo b vì: trường biến dạng khả dĩ thì sẽ thỏa mãn tất cả các giá trị của b, nên chọn giá trị mô đun đàn hồi khối vĩ mô nhỏ nhất theo b để đảm bảo tính tối ưu. . Chọn max theo f1, g1: đây là 2 thông số thể hiện dạng hình học của đa tinh thể, nên chọn các giá trị làm cho mô đun vĩ mô lớn nhất để làm đánh giá trên.
11. 9 2.2.3. Xây dựng đánh giá dƣới mô đun đàn hồi khối Tương tự, chọn trường khả dĩ tổng quát cho ứng suất: n 0 ij  ij   a ik ,,, kj a jk ki b 1  ij a kl kl 1 aij  ba kl , ijkl (2.65) n với a là các hệ số vô hướng tự do chịu ràng buộc v a 0 ; 1 I là hàm chỉ số hình học pha α. Đặt trường khả dĩ vào phiếm hàm năng lượng bù cực tiểu, tối ưu theo aij , b, f1, g1 chịu các ràng buộc tương ứng, ta được đánh giá dưới: eff Ld Ld 1 -1 k min m ax K C , f11 , g , Kk RKCA :: fg, b 11 1 1 -1 -1 1 AACCAC :::: KKK (2.73) 2.3. Mô đun đàn hồi trƣợt vật liệu đa tinh thể d chiều 2.3.1. Xây dựng đánh giá trên mô đun trượt d chiều Chọn trường thử khả dĩ d chiều cho biến dạng: n 1  0 a a ba  (2.75) ijij ik , kj jk , ki kl , ijkl 1 2 với ε0 là biến dạng lệch. Biến đổi tương tự ta được đánh giá: eff Ud  max min C , f11 , g , b , fg11, b Ud 11 T -1  V 2 MM ijij iijj , MCA M :: dd 2 3 1 -1 -1T 1 AACCAC :::: MMM (2.79) 2.3.2. Xây dựng đánh giá dưới mô đun trượt Chọn trường thử khả dĩ d chiều cho ứng suất:
12. 10 n 0 ij  ij  a ik ,,, kj a jk ki b 1  ij a kl kl 1 aij  ba kl , ijkl (2.80) σ0 là ứng suất lệch. Tương tự ta được đánh giá: eff Ld  minm ax C , f11 , g , fg11, b 1 Ld 1 21 T -1  R MM ijij iijj , MCA Mijkl M :: 53 1 -1 -1T 1 AACCAC :::: MMM (2.84) 2.4. Kết luận chƣơng 2 Xuất phát từ các nguyên lý năng lượng cực tiểu, các trường khả dĩ tổng quát hơn HS, NCS đã xây dựng được các đánh giá mới cho các hệ số đàn hồi vĩ mô đa tinh thể d chiều:  Các đánh giá này phụ thuộc phức tạp vào các thông số hình học f1, g1 và các hệ số đàn hồi thành phần Cij của đơn tinh thể.  Khi không có các thông tin hình học này thì đánh giá của luận án chính là đánh giá V-R. Số hạng thứ hai trong các biểu thức đánh giá khiến cho kết quả của luận án tốt hơn. CHƢƠNG 3: ĐÁNH GIÁ CÁC MÔ ĐUN ĐÀN HỒI VĨ MÔ CHO CÁC ĐA TINH THỂ HỖN ĐỘN TỪ CÁC LỚP ĐỐI XỨNG TINH THỂ CỤ THỂ Chương này NCS sẽ áp dụng các công thức đánh giá tổng quát ở chương 2 cho một số đối xứng tinh thể 2D, 3D. Sử dụng Matlab tính toán cụ thể cho một số đa tinh thể thực tế và so sánh với các kết quả đánh giá trước đây. Để tiện so sánh, ta dùng tham số phân tán cho mô đun khối Sk và trượt S : kkUL UL , S Sk UL  UL (3.1) kk 
13. 11 kkULUL,,, tương ứng là đánh giá trên và dưới của mô đun đàn hồi khối và trượt. Các tham số phân tán này đặc trưng cho sự chênh lệch tương đối giữa đánh giá trên và dưới, nếu tham số phân tán nhỏ hơn thì đánh giá là tốt hơn. 3.1. Các đa tinh thể 2 chiều 3.1.1. Đối xứng tinh thể hình chữ nhật (Orthorhombic 2D) a. Đánh giá trên mô đun đàn hồi diện tích Tính các số hạng trong (2.64) cho orthorhombic 2D ta được: 2 KKCCSCU AC ACK A CAC V K11 K 22 R pq K (3.11) b. Đánh giá dưới mô đun đàn hồi diện tích Tương tự, từ (2.73) ta được: 1 2 Lfgb 111 AC AC A CAC KKCCCC R K11 K 22 K V pq K (3.15) 4 c. Kết quả các đánh giá và so sánh Xét một số đa tinh thể orthorhombic 2D trong Bảng 3.1 (đơn vị tính GPa). Từ (3.11), (3.15) tính ra kết quả đánh giá mới của UL U U U L L L luận án KK, ; b , f1 , g1 và b , f1 , g1 là các giá trị của các biến (các thông số hình học vật liệu đa tinh thể) đạt được ứng với đánh giá trên và dưới của luận án; so sánh với đánh giá V-R, đánh giá cho tinh thể dạng hình tròn ULnhận được KKcir, cir LA cir VR kết quả trong Bảng 3.2; Sk , Sk , Sk tương ứng là các tham số phân tán của Luận án, dạng hạt tròn và V-R. Bảng 3.1: Các hệ số đàn hồi một số tinh thể 2D orthorhombic Tinh thể C11 C22 C12 C33 S(1) 2.05 4.83 1.59 0.43 S(2) 2.40 2.05 1.33 0.76 U(1) 19.86 26.71 10.76 12.44 U(2) 21.47 19.86 4.65 7.43
14. 12 Bảng 3.2: Kết quả đánh giá mô đun đàn hồi diện tích orthorhombic 2D bL bU LA cir VR Tinh L L U U L U Sk Sk Sk KR K Kcir Kcir K KV f1 f1 thể (%) (%) (%) L U g1 g1 -1.40 -0.67 S(1) 1.9928 2.1365 2.1365 2.1612 2.1612 2.5150 0.06 0 0.57 0.57 11.5 0.51 0.20 -0.52 -0.88 S(2) 1.7604 1.7678 1.7678 1.7680 1.7774 1.7775 0 0.01 0.27 0.01 0.48 0.41 0.04 -1.02 -0.97 U(1) 16.554 16.739 16.7399 16.7489 16.7489 17.022 0.16 0.31 0.03 0.03 1.39 0.51 0.41 -0.05 -1.25 U(2) 12.637 12.643 12.6434 12.64341 12.64341 12.657 0 0.16 4.10 5 4.10 5 0.08 0.31 0.14 Nhận xét Bảng 3.2: Đánh giá mới của luận án luôn nằm trong khoảng đánh giá V-R, chứng tỏ kết quả của luận án LA cir VR là tốt hơn; Các giá trị Sk gần như bằng Sk và nhỏ hơn nhiều lần Sk , chứng tỏ đánh giá của luận án sát với dạng hình tròn và tốt hơn rất nhiều so với V-R.
15. 13 3.1.2. Đối xứng tinh thể hình vuông (Square) a. Đánh giá mô đun đàn hồi diện tích 1 KCCeff (3.17) 11 12 2 b. Đánh giá mô đun đàn hồi trượt eff 1 CAC CAC CAC  max minVMMM C11 C 12 2 C 33 b fg11, 4 1 11 2 SSSCCCA A A AC AC 2 AC 11 12 33 MMM 11 12 33 (3.22) 42 eff 1 CAC CAC CAC  min maxRMMM CCC11 12 2 33 fg11, b 12 1 CCCCCCA A 22 A AC AC AC (3.25) 11 12 33 MMM 11 12 33 c. Kết quả các đánh giá và so sánh Tính cho các tinh thể square trong Bảng 3.3, so sánh với các ULUL đánh giá V-R, HS (,,,)KKHS HS HS HS , giá trị SC (,)KSC SC , nhận được các kết quả trong Bảng 3.3 và 3.4. Bảng 3.3: Kết quả đánh giá mô đun đàn hồi diện tích square KKKKeff Square C11 C12 C33 V R HS Ag 123 92 45.3 107.5 Ca 16 8 12 12 Cu 169 122 75.3 145.5 Ni 247 153 122 200 Pb 123 92 45.3 45.1 Li 13.6 11.4 9.8 12.5
16. 14 Bảng 3.4: Kết quả đánh giá mô đun đàn hồi trượt square L L U U LA HS VR Square R HS  SC  HS V S S S Ag 23.1 25.17 25.63 25.76 25.94 26.36 30.40 0.61 2.31 13.64 Ca 6.0 6.462 6.545 6.563 6.60 6.667 8.0 0.41 1.56 14.29 Cu 35.82 39.41 40.26 40.51 40.89 41.64 49.40 0.77 2.75 15.94 Ni 67.86 72.43 73.24 73.41 73.71 74.42 84.50 0.32 1.35 10.92 Pb 5.92 6.772 7.04 7.152 7.302 7.556 9.250 1.82 5.47 21.95 Li 1.98 2.49 2.73 2.90 3.19 3.41 5.45 7.77 15.59 46.7 Nhận xét Bảng 3.3, 3.4: Mô đun trượt cho đối xứng square của luận án tốt hơn so với V-R, HS, còn mô đun đàn hồi diện tích trùng nhau chứng tỏ kết quả luận án hoàn toàn hợp lý. 3.1.3. Tinh thể hình chữ nhật đáy vuông (Tetragonal 2D) a. Đánh giá mô đun đàn hồi diện tích UL Các đánh giá bậc ba KKccir, ir cho tetragonal 2D dạng hạt tròn: L eff U L U CCC11 22 12 KKKccir ir , KPcir K  R, * R , KPcir K  V, * V , PK (0 , * ) 0 . (3.27) CCC11 2 2 2433 * K00 KVV KRR * trong đó: * , *V , *R , CC11 11  0 * , K0 20 KVV 2 KRR 2 * * * CC12 12  0 * , CC22 22  0 * , CC33 33 * .
17. 15 b. Đánh giá mô đun đàn hồi trượt UL Các đánh giá bậc ba ccir, ir cho tetragonal 2D dạng hạt tròn: L eff U L U CC   , CRR P , * , CVV P , * , 1 CCC11 22 2412 * 1 P (0 ,  ) 2  . (3.28) * CCCC11 22 12 33 c. Kết quả các đánh giá và so sánh Tính cho các tinh thể tetragonal 2D trong Bảng 3.5, so sánh với V-R, nhận được kết quả tương tự trong Bảng 3.6 và 3.7. Bảng 3.5: Các hệ số đàn hồi một số tinh thể tetragonal 2D Tetragonal 2D C11 C12 C22 C33 BaTiO3 275 151 165 54.3 ZrSiO4 73.5 -5.4 46 13.8 Sn 75.3 44.1 95.5 21.9 TiO2 273 149 484 125 In 44.5 40.5 44.4 6.5 Hg2Cl2 18.8 15.6 80.1 85.3 SnO2 262 156 450 103 Urea 21.7 24 53.2 6.26 Bảng 3.6: Kết quả mô đun đàn hồi diện tích tetragonal 2D Tinh U L VR LA KV K K K R Sk Sk thể BaTiO3 185.5 173.78 173.083 163.58 6.279 0.201 ZrSiO4 27.175 26.0262 26.0009 25.724 2.743 0.049 Sn 64.75 63.9885 63.9843 63.515 0.963 0.003 TiO2 263.75 248.078 247.672 239.501 4.818 0.082 4 5 In 42.475 42.4749 42.4749 42.4747 4.10 3.10 Hg2Cl2 32.525 24.4991 22.3135 18.6487 27.12 4.669 Urea 30.725 25.2314 24.7086 21.5033 17.66 1.047
18. 16 Bảng 3.7: Kết quả đánh giá mô đun đàn hồi trượt tetragonal 2D Tinh U L VR LA V C C R S S thể BaTiO3 44.4 40.924 40.7742 38.997 6.479 0.183 ZrSiO4 23.187 20.176 20.081 19.066 9.752 0.236 Sn 21.275 21.1092 21.1087 21.046 0.541 0.001 TiO2 119.87 115.821 115.744 113.65 2.663 0.033 In 4.2375 3.5787 3.49441 3.0294 16.62 1.192 Hg2Cl2 51.112 29.292 24.4153 17.42 49.15 9.08 3.2. Các đa tinh thể 3 chiều Tính toán tương tự cho tetragonal 3D, ta được các kết quả sau. 3.2.1. Mô đun đàn hồi thể tích 2 U AC AC A CAC K kV 22 C K11 C K 33  R S pq C K (3.34) 1 2 L 111 AC AC A CAC K kR 22 C K11 C K 33  V C pq C K (3.39) 9 3.2.2. Mô đun đàn hồi trượt eff A 2 AC CAC  max minV 4M R S pq M V C Mpq M V C Mpq  (3.44) fg11, b eff 1 1A 2 CA  min maxR 4M VCC pq M V Mpq fg, b   11 1 4M CCAC (3.48) V Mpq  3.2.3. Kết quả các đánh giá và so sánh Áp dụng cho các tinh thể tetragonal 3D trong Bảng 3.8, so sánh với V-R, HS, đánh giá PĐC cho lớp con của các đa tinh thể u l u l hình cầu (,,,)kkSSSS nhận được kết quả Bảng 3.9 và 3.10. Bảng 3.8: Các hệ số đàn hồi một số đa tinh thể tetragonal 3D Tinh thể C11 C33 C12 C13 C44 C66 BaTiO3 275 165 179 151 54.3 113 ZrSiO4 73.5 46 9 -5.4 13.8 16 Sn 75.3 95.5 61.6 44.1 21.9 23.7 TiO2 273 484 176 149 125 194 In 44.5 44.4 39.5 40.5 6.5 12.2 Hg2Cl2 18.8 80.1 173 15.6 85.3 12.6
19. 17 Bảng 3.9: Kết quả đánh giá mô đun đàn hồi thể tích tetragonal 3D Tinh L L Ll Uu U U LA HS VR kR kHS k kkSS kSC kkSS k kHS kV Sk Sk Sk thể BaTiO3 162.82 174.3 177.6 178.2 178.8 179.3 179.3 181.9 186.33 0.476 2.134 6.733 ZrSiO4 19.056 19.6 19.74 19.75 19.78 19.82 19.82 20.1 21.04 0.202 1.259 4.948 Sn 606.200 606.315 606.325 60.633 60.635 60.637 606.338 606.341 606.342 0.001 0.002 0.012 TiO2 210.61 213.4 214.7 214.7 215.0 215.1 215.2 216.0 219.78 0.116 0.605 2.131 In 41.600 41.601 41.605 41.608 41.612 41.615 41.617 41.619 41.620 0.014 0.022 0.024 Hg2Cl2 17.8 18.3 18.82 18.82 19.61 19.99 20.24 21.3 22.3 3.635 7.575 11.22 Bảng 3.10: Kết quả đánh giá mô đun đàn hồi trượt tetragonal 3D L L Ll Uu U U LA HS VR Tinh thể R HS  SS SC SS  HS V S S S BaTiO3 47.77 51.4 53.28 53.48 53.80 54.08 54.12 55.5 59.92 0.782 3.835 11.282 ZrSiO4 18.37 19.5 19.71 19.71 19.77 19.84 19.85 20.3 21.71 0.354 2.01 8.3333 Sn 15.67 17.6 18.35 18.43 18.56 18.61 18.61 18.8 19.92 0.703 3.297 11.942 TiO2 101.2 111.4 114.7 115.0 115.7 116.1 116.1 118.1 125.9 0.607 2.919 10.876 In 3.716 4.4 4.770 4.770 4.90 4.980 4.990 5.3 5.900 2.254 9.278 22.712 Hg2Cl2 2.930 4.9 6.184 6.407 7.655 8.057 8.057 9.0 10.54 13.15 29.5 56.496 Nhận xét Bảng 3.9 và 3.10: Tương tự, kết quả cho tetagonal 3D của luận án cũng tốt hơn V-R, HS, ngoài ra khi f1=g1=0: các đánh giá mới của luận án trùng với PĐC, chứng tỏ kết quả này hoàn toàn phù hợp.
20. 18 3.3. Kết luận chƣơng 3 Áp dụng các công thức xây dựng ở chương 2, NCS đã đạt được:  Xác định các công thức đánh giá cụ thể cho một số đối xứng 2D, 3D; Tính toán số cho một số vật liệu đa tinh thể thực tế và so sánh với các đánh giá V-R, HS, PĐC, SC.  Kết quả luận án hợp lý và tốt hơn các đánh giá đã có. CHƢƠNG 4: ÁP DỤNG PHƢƠNG PHÁP PTHH VÀ SO SÁNH VỚI CÁC ĐÁNH GIÁ CHO MỘT SỐ MÔ HÌNH ĐA TINH THỂ CỤ THỂ Chương này sử dụng phương pháp PTHH để xác định các hệ số đàn hồi vĩ mô của đa tinh thể 2D, tính toán cho một số đối xứng tinh thể cụ thể và so sánh với các kết quả đánh giá của V-R, HS, giá trị SC, đánh giá mới của luận án. 4.1. Các công thức xuất phát eff Ten xơ đàn hồi vĩ mô Cijkl được tính theo công thức tổng quát: 1 Ceff e ij  ij C y e kl  kl dy ijklY y y (4.1) Y Y là kích thước phần tử đơn vị; e ij là trường chuyển vị khả dĩ; C y là ten xơ đàn hồi địa phương;  ij là độ dịch chuyển đặc trưng tương ứng với trường chuyển vị khả dĩ e ij . Trong hệ tọa độ cơ sở của tinh thể, theo định luật Hooke ta có: σ Ceff : ε (4.3) 4.2. Quy trình tính toán PTHH 4.2.1. Chia lưới phần tử đặc trưng Ký hiệu kích thước RVE là nxn, kích thước lưới là mxm (n: số tinh thể hexagonal trên mỗi chiều của RVE, m: số phần tử trên mỗi chiều của tinh thể hexagonal, m 8 ); Phần tử lưới là hình
21. 19 tứ giác, mỗi phần tử có 4 nút, mỗi nút có 2 bậc tự do. Như vậy, RVE 44 có 8 8 4 4 1.024 phần tử tứ giác, RVE 64 64 có 8 8 64 64 262.144 phần tử tứ giác, đây là 1 con số không hề nhỏ, nên quá trình tính toán yêu cầu thời gian và tài nguyên máy tính lớn. RVE 4x4 RVE 8x8 RVE 16x16 RVE 32x32 RVE 64x64 Hình 4.1: Kích thước RVE 4.2.2. Xác định các ma trận, véc tơ RVE chia thành Ne phần tử tứ giác với R điểm nút, mỗi phần tử có r điểm nút, mỗi nút có s bậc tự do. Để tính các hệ số đàn hồi, chọn chuyển vị là ẩn, ứng suất và biến dạng sẽ được xác định sau khi biết chuyển vị tại các nút. Gọi q là chuyển vị nút tổng thể q là chuyển vị nút phần tử, L là ma trận định vị e  e của phần tử, K là ma trận độ cứng tổng thể, P là véc tơ tải  tổng thể. Thế năng toàn phần có dạng: Ne 1 TTT  q L K L q q L P (4.10)  e  e ee  e    e   e 1 2 Áp dụng nguyên lý thế năng toàn phần dừng Lagrange về điều kiện cân bằng của toàn hệ tại các điểm nút, ta có: K q P (4.13) 4.2.3. Xác định các giá trị mô đun đàn hồi Đặt tải trọng trung bình, từ (4.3) tính được mô đun đàn hồi thể tích và mô đun trượt tương ứng:
22. 20  dx  dx 11 22  12 k eff V ,  eff 12 V (4.14) 2  dx 2  2  dx 11 22 12 12 V V Gắn mỗi tinh thể với 1 góc quay φ, ( 02 ). Trong chương trình tính, chọn lệnh “random” cho góc φ để đảm bảo tính hỗn độn về hướng của tinh thể. Ứng với mỗi góc φ sẽ tính ra một giá trị của mô đun đàn hồi. Điều kiện biên tuần hoàn của bài toán: U x d ε0  d U x (4.16) d là khoảng cách biên giữa 2 phần tử liền kề, U là chuyển vị của phần tử. 4.3. Áp dụng cho đối xứng tinh thể cụ thể Tính toán cho các tinh thể orthorhombic 2D, square, tetragonal 2D với dạng hình học hexagonal đã xét trong chương 3. 4.4. Kết quả PTHH và so sánh Chọn ngẫu nhiên 20 góc quay, thời gian tính cho mỗi lần gieo (tương ứng với mỗi Hình) là khoảng 18 tiếng. 4.4.1. Các kết quả cho đối xứng tinh thể square Hình 4.3: Kết quả PTHH mô Hình 4.4: Kết quả PTHH mô đun trượt Cu, S 0.77% , RVE đun trượt Pb, S 1.82% , RVE hội tụ 64x64 hội tụ 32x32
23. 21 4.4.2. Các kết quả cho đối xứng tinh thể orthorhombic 2D Hình 4.6: Kết quả mô đun đàn Hình 4.10: Kết quả mô đun đàn hồi diện tích S(1) hồi trượt S(3) 4.4.3. Các kết quả cho đối xứng tinh thể tetragonal 2D Hình 4.12: Kết quả PTHH mô Hình 4.15: Kết quả PTHH mô đun đàn hồi trượt Hg2Cl2 đun đàn hồi trượt In Nhận xét chung các kết quả PTHH  Kết quả PTHH rải rác quanh các giá trị giải tích V-R, HS, SC, luận án, chứng tỏ kết quả PTHH hoàn toàn phù hợp.  Khi số mẫu thử càng lớn thì các giá trị PTHH có xu hướng tập trung quanh các giá trị giải tích, tức là khi tăng số hướng tinh thể thì tính chất vĩ mô của đa tinh thể được thể hiện rõ hơn, điều này hợp lý với lý thuyết cơ bản của đồng nhất hóa vật liệu.
24. 22  Khi RVE tăng thì các kết quả PTHH tiến dần đến và nằm trong khoảng đánh giá tốt hơn. Như vậy kết quả PTHH của luận án hội tụ và đạt độ chính xác cao hơn khi tăng RVE, điều này hoàn toàn hợp lý với lý thuyết mô phỏng số nói chung. Tuy nhiên vấn đề thời gian và cấu hình máy tính là trở ngại lớn.  Những tinh thể có tham số phân tán lớn thì tốc độ hội tụ nhanh hơn các tinh thể có tham số phân tán nhỏ.  Khi xét mối liên quan giữa kích thước RVE hội tụ với tham số phân tán ta nên so sánh các tinh thể trong cùng tính chất đàn hồi (các giá trị tham số phân tán mô đun diện tích so với nhau, tham số trượt so với nhau). 4.5. Kết luận chƣơng 4 Sử dụng phương pháp PTHH để mô phỏng các hệ số đàn hồi đa tinh thể hỗn độn 2D và so sánh với các kết quả giải tích, nhận được kết quả PTHH hội tụ đến đánh giá của luận án với RVE 64x64 tinh thể; Phương pháp số luận án sử dụng không mới, nhưng cách tiếp cận tính toán cho các mô đun đàn hồi vĩ mô cụ thể của luận án là mới, có thể được sử dụng để mô phỏng các tinh thể hỗn độn khác, đồng thời có thể kiểm tra và xác định giá trị mô đun đàn hồi vĩ mô tốt hơn. KẾT LUẬN VÀ HƢỚNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO Tiếp cận bài toán bằng nguyên lý biến phân và sử dụng cả phương pháp giải tích và phương pháp số, luận án đã đạt được: 1. Kết quả đánh giá các hệ số đàn hồi  Xây dựng được các công thức đánh giá tổng quát cho các hệ số đàn hồi vĩ mô đa tinh thể hỗn độn d chiều. Điểm mới của luận án là đã đưa vào các thông tin hình học pha vật liệu và chọn trường thử khả dĩ tổng quát hơn trường phân cực HS.
25. 23  Xây dựng các đánh giá cụ thể cho một số đối xứng tinh thể 2D, 3D; Tính và so sánh với các kết quả V-R, HS, SC, PĐC.  Kết quả đánh giá của luận án hoàn toàn phù hợp và đã tốt hơn các đánh giá đã có. 2. Kết quả mô phỏng số  Áp dụng phương pháp PTHH tính toán cho một số đa tinh thể hỗn độn từ các đối xứng tinh thể 2D và so sánh với các đánh giá đã được xây dựng.  Kết quả PTHH hợp lý với các kết quả đã có và gần như hội tụ đến kết quả đánh giá mới của luận án.  Đưa ra được kết luận về mối liên quan giữa kích thước RVE hội tụ với tham số phân tán của tinh thể.  Các kết quả PTHH của luận án là mới và có thể sử dụng trong các nghiên cứu tiếp theo. Hƣớng nghiên cứu mở ra của luận án Từ các kết quả đã đạt được, NCS cùng nhóm nghiên cứu vẫn tiếp tục kết hợp giữa phương pháp giải tích và phương pháp số nhằm tìm kiếm các kết quả tốt hơn. 1. Phương pháp giải tích  Nghiên cứu tiếp với các đối xứng tinh thể khác như 3D orthorhombic, trigonal, hecxagonal  Xây dựng đánh giá tốt hơn (biên trên- dưới hẹp hơn) cho các hệ số đàn hồi vĩ mô là một bài toán không đơn giản và vẫn cần tiếp tục nghiên cứu.  Rút ra phương trình tương quan giữa tham số phân tán với kích thước RVE hội tụ, điều này giúp thể hiện tính định lượng bằng toán học rõ ràng hơn cũng như mối liên quan chặt chẽ giữa phương pháp giải tích với PTHH.
26. 24 2. Phương pháp số  Áp dụng phương pháp PTHH để tính các hệ số đàn hồi của các đối xứng tinh thể 2D khác với mô hình hình học pha hecxagonal và tiến đến đa tinh thể Voronoi (đa tinh thể hỗn độn hoàn toàn). Đây là một bài toán rất phức tạp.  Tính toán với RVE lớn hơn có thể sẽ cho kết quả tốt hơn và tiến dần đến một (khoảng) giá trị nào đó, nhưng do cấu hình máy tính còn hạn chế, và hiện tại cũng chưa có kết quả xấp xỉ giải tích nào tốt hơn nên khó khăn trong việc so sánh.  Sử dụng PTHH tính toán và mô phỏng số cho đa tinh thể 3D rất phức tạp, không chỉ với các nhà khoa học trong nước mà còn trên cả thế giới.
27. CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC ĐÃ CÔNG BỐ (1) P.D. Chinh, L.H. Chau, V.T.M. Hanh, Estimates for the elastic moduli of d-dimensional random cell polycrystals, Acta Mechanica, 2016, 227, 2881-2897. (2) Vuong Thi My Hanh, Pham Duc Chinh, Vu Lam Dong, Improved estimates for the effective elastic bulk modulus of random tetragonal crystal aggregates, Vietnam Journal of Mechanics, VAST, 2016, Vol 38, No 3, 181 -192. (3) Vũ Lâm Đông, Phạm Đức Chính, Vƣơng Thị Mỹ Hạnh, Xây dựng đánh giá mô đun trượt hiệu quả vật liệu đa tinh thể hỗn độn, Tuyển tập Hội nghị Khoa học toàn quốc Cơ học Vật rắn biến dạng lần thứ XII, 2016, tập 1, 458-464, ISBN: 978-604-913-458-6, Đà Nẵng. (4) Vũ Lâm Đông, Phạm Đức Chính, Vƣơng Thị Mỹ Hạnh và Lê Hoài Châu, Mô phỏng và đánh giá mô đun đàn hồi của vật liệu đa tinh thể ngẫu nhiên 2D, Tuyển tập Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ X, Cơ học Vật rắn biến dạng, 8-9/12/2017, tập 3, tr.276-283, ISBN: 978-604-913-722-8, Hà Nội. (5) Vuong Thi My Hanh, Le Hoai Chau, Pham Duc Chinh, Vu Lam Dong, Estimates for the elastic moduli of 2D hecxagonal- shape orthohombic crystals with in-plane random crystalline orientations, Vietnam Journal of Mechanics, VAST, 2019, Vol 41, No 2, 171- 177. (6) Vƣơng Thị Mỹ Hạnh, Lê Hoài Châu, Phạm Đức Chính, Vũ Lâm Đông, Đánh giá và mô phỏng số phần tử hữu hạn một số đa tinh thể tetragonal có hướng tinh thể phân bố hỗn độn, Hội nghị Cơ học Kỹ thuật toàn quốc, 2019, tập 1, tr. 119-126, Hà Nội.