Nghiên cứu dao động ngẫu nhiên phi tuyến bằng tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương - tổng thể

Nội dung tài liệu: Nghiên cứu dao động ngẫu nhiên phi tuyến bằng tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương - tổng thể

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ Nguyễn Cao Thắng NGHIÊN CỨU DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN PHI TUYẾN BẰNG TIÊU CHUẨN SAI SỐ BÌNH PHƯƠNG TRUNG BÌNH ĐỊA PHƯƠNG – TỔNG THỂ Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật Mã số: 9 52 01 01 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT CƠ KHÍ VÀ CƠ KỸ THUẬT Hà Nội – 2019
2. Công trình được hoàn thành tại: Học viện Khoa học và Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam. Người hướng dẫn khoa học: TS. Lưu Xuân Hùng GS. TSKH. Nguyễn Đông Anh Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: . Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng đánh giá luận án tiến sĩ cấp Học viện, họp tại Học viện Khoa học và Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam vào hồi giờ ’, ngày tháng năm 2019. Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Học viện Khoa học và Công nghệ - Thư viện Quốc gia Việt Nam
3. 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do lựa chọn đề tài Việc tính toán, thiết kế dao động và điều khiển dao động có vai trò quan trọng nhằm duy trì hiệu năng, hiệu quả, cũng như tuổi thọ của các công trình, máy móc. Hiện nay, hệ nhiều bậc tự do được sử dụng trong hầu hết các hệ thống kỹ thuật. Như vậy, cần thiết phải nghiên cứu phát triển phương pháp tuyến tính hóa tương đương (TTHTĐ) cho hệ nhiều bậc tự do chịu kích động ngẫu nhiên. 2. Mục tiêu nghiên cứu của luận án Áp dụng cách tiếp cận đối ngẫu để giải quyết việc xác định miền hữu hạn [-rx , + rx] trong tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương (LOMSEC). Qua đó đề xuất tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương - tổng thể (GLOMSEC) của phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ nhiều bậc tự do phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên ồn trắng hoặc ồn màu. Đánh giá sai số của tiêu chuẩn thông qua việc so sánh các mô men đáp ứng bậc hai gần đúng với các giá trị chính xác hoặc thu được bằng các phương pháp tin cậy khác. 3. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp giải tích, phương pháp số, mô phỏng Monte - Carlo. Phương pháp giải tích được sử dụng để xây dựng tiêu chuẩn sai số: dựa trên quan điểm đối ngẫu trong phân tích đáp ứng các hệ phi tuyến (xem xét đồng thời hai chiều khác nhau của một vấn đề) cho phép khép kín về mặt giải tích để xác định giá trị trung bình các hệ số tuyến tính hóa. Phương pháp số được sử dụng để lập trình bằng phần mềm Matlab để tính toán, phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến nhiều bậc tự do. Mô phỏng Monte – Carlo để tìm
4. 2 nghiệm mô phỏng đánh giá độ chính xác của lời giải tuyến tính hóa. 4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn - Đã phát triển phương pháp tuyến tính hóa tương đương - một trong những phương pháp được sử dụng phổ biến nhất của Dao động ngẫu nhiên. Cụ thể đã đề xuất tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương - tổng thể (Global Local Mean Square Error Criterion - GLOMSEC) cho hệ ngẫu nhiên phi tuyến nhiều bậc tự do. - Đã xây dựng hệ phương trình khép kín để xác định các mô men đáp ứng bậc hai. Khảo sát và đánh giá hiệu quả của tiêu chuẩn nói trên cho nhiều hệ phi tuyến chịu kích động ồn trắng hoặc ồn màu. - Kết quả của luận án có khả năng sử dụng trong việc tính toán các hệ kỹ thuật phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên. 5. Cấu trúc của luận án Cấu trúc của luận án gồm: phần mở đầu, 4 chương nội dung, phần kết luận, danh mục công trình công bố, tài liệu tham khảo và phụ lục. CHƯƠNG 1. GIỚI THIỆU TỔNG QUAN VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN PHI TUYẾN 1.1. Đại lượng ngẫu nhiên và các đặc trưng xác suất Định nghĩa Xác suất của một biến cố ngẫu nhiên [29],[69]: Thực hiện n phép thử, biến cố M xuất hiện m lần, thì xác suất xuất hiện biến cố M, ký hiệu là P(M) là giới hạn của tần suất f(M) = m/n khi số phép thử n tăng vô hạn. limf ( M ) P ( M ) (1.1) n
5. 3 Đại lượng ngẫu nhiên X là đại lượng mà đối với mỗi kết cục r của phép thử, ta liên kết nó với một số thực X(r) sao cho: a) tập hợp X x thể hiện một biến cố M đối với mỗi số thực x, b) xác suất của biến cố X =  bằng không: P X =  = 0 (1.2) Với x là số thực bất kỳ, hàm phân phối xác suất F(x) của X là xác suất để đại lượng ngẫu nhiên X nhận giá trị nhỏ hơn x: F(x) = P[X x] (1.3) 1.2 Quá trình ngẫu nhiên Trong mục này trình bày các nội dung sau: Hàm mật độ xác suất; Mô men bậc cao; Kỳ vọng toán; Trung bình bình phương; Phương sai; Hàm tự tương quan và hiệp phương sai. 1.3 Một số quá trình ngẫu nhiên đặc biệt Trong mục này trình bày các nội dung sau: Quá trình ngẫu nhiên dừng và Ergodic; Quá trình ngẫu nhiên chuẩn hay Gauss; Quá trình ồn trắng; Quá trình ồn màu; Quá trình Wiener và quá trình Markov. 1.4 Một số phương pháp giải tích gần đúng phân tích dao động ngẫu nhiên Cùng với phương pháp số, các phương pháp giải tích gần đúng là các phương pháp rất có hiệu quả. Trong luận án đã lựa chọn một số phương pháp liên quan để trình bày chi tiết [29-31]: - Phương pháp nhiễu (hay phương pháp tham số bé). - Phương pháp phương trình Fokker-Planck-Kolmogorov (FPK).
6. 4 - Phương pháp trung bình hóa ngẫu nhiên. - Phương pháp tuyến tính hóa tương đương ngẫu nhiên. 1.5 Phương pháp phương trình Fokker – Planck - Kolmogorov (FPK) và phương pháp trung bình hóa ngẫu nhiên 1.6. Tổng quan một số nghiên cứu về dao động ngẫu nhiên Vấn đề dao động ngẫu nhiên đã được nghiên cứu và được trình bày trong nhiều sách giáo khoa [26–33]. Việc phân tích dao động dựa trên các mô hình toán phi tuyến đòi hỏi phải có các phương pháp thích hợp. Trong lý thuyết dao động ngẫu nhiên, phương pháp TTHTĐ ngẫu nhiên thay thế hệ phi tuyến bởi một hệ tuyến tính tương đương là một phương pháp phổ biến vì phương pháp này bảo tồn một số tính chất thiết yếu của hệ phi tuyến gốc. Phương pháp này đã được mô tả trong nhiều bài báo tổng quan [42, 43] và được tóm tắt trong các chuyên khảo [29] và [44]. Mặc dù độ chính xác của của phương pháp TTHTĐ có thể không cao, nhưng điều này được khắc phục bằng các kỹ thuật cải tiến [43]. Canor et al. [45] cũng đã viết: Nhờ có kỹ thuật thực hiện dễ dàng và nhanh chóng, phương pháp tuyến tính hóa tương đương đã trở thành một cách tiếp cận xác suất chung phổ quát để phân tích các cấu trúc phi tuyến kích thước lớn. Phương pháp TTHTĐ đã được sử dụng trong nhiều tài liệu nghiên cứu. Một cách TTHTĐ dựa trên phương pháp giải tích được phát triển trong [46, 47] để phân tích các hệ khai thác năng lượng phi tuyến. Hệ dao động phi tuyến của thiết diện cánh được nghiên cứu trong [48, 49] bằng cách sử dụng phương pháp TTHTĐ. Silva - Gonzlez và cs. [52] đã sử dụng phương pháp TTHTĐ ngẫu nhiên để nghiên cứu hệ kết cấu phi tuyến tính đàn dẻo chịu tải địa chấn. Tại Việt Nam luận án của Nguyễn Ngọc Linh [4] đã phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến của hệ một bậc tự do bằng phương
7. 5 pháp TTHTĐ ngẫu nhiên theo tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số. Trong Luận án của Nguyễn Như Hiếu [5] đã phát triển tiêu chuẩn đối ngẫu trong phương pháp TTHTĐ cho hệ phi tuyến nhiều bậc tự do chịu kích động ngẫu nhiên. Nguyễn Minh Triết đã thực hiện luận án tiến sĩ về vấn đề phân tích đáp ứng của Profile cánh máy bay theo cách tiếp cận đối ngẫu, trong đó nghiên cứu dao động tuần hoàn phi tuyến bằng phương pháp TTHTĐ [6]. Trong luận án tiến sĩ năm 2002 [7] Lưu Xuân Hùng đã phát triển tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương (Local Mean Square Error Criterion - LOMSEC) dựa trên ý tưởng thay thế tích phân trên miền vô hạn (-∞, +∞) bằng tích phân trên một miền hữu hạn [-rx , + rx] nơi tập trung đáp ứng của hệ. Phát triển tiếp tục hướng nghiên cứu này, trong luận án do NCS thực hiện sẽ nghiên cứu phát triển tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương - tổng thể (Global-Local Mean Square Error Criterion - GLOMSEC) của phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ nhiều bậc tự do phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên. Trong việc phát triển này sẽ áp dụng cách tiếp cận đối ngẫu để giải quyết việc xác định miền hữu hạn [-rx , + rx]. Kết luận chương 1 Chương 1 đã giới thiệu một số khái niệm và công thức cơ bản của lý xác suất và quá trình ngẫu nhiên, một số phương pháp phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến. Một số kết quả nghiên cứu về dao động ngẫu nhiên phi tuyến liên quan đến luận án cũng đã được tổng quan và phân tích làm cơ sở cho các chương tiếp theo.
8. 6 CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HÓA TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ TIÊU CHUẨN SAI SỐ BÌNH PHƯƠNG TRUNG BÌNH ĐỊA PHƯƠNG – TỔNG THỂ 2.1. Tiêu chuẩn tuyến tính hóa tương đương kinh điển Ta trình bày phương pháp TTHTĐ cho hệ dao động ngẫu nhiên phi tuyến một bậc tự do dạng [9, 29, 44]:  2   (2.10) x 2 hx 0 x g ( x , x )  ( t ) trong đó x , x và x là dịch chuyển, vận tốc và gia tốc; h là hệ số giảm chấn, g(,) x x là hàm phi tuyến, ()t là kích động ồn trắng 2 dừng Gauss có cường độ  ; 0 là tần số dao động riêng ứng với h 0 , g( x , x ) 0 . Phương trình TTHTĐ của (2.10) như sau:  2   (2.11) x 2 hx 0 x bx kx  ( t ) trong đó b, k là các hệ số tuyến tính hóa. Sai số phương trình giữa (2.10) và (2.11) phải thỏa mãn tiêu chuẩn cực tiểu hóa trung bình bình phương sai số phương trình do Caughey [10] đề nghị: 2 (2.14) Skd g(,) x x bx  kx min b, k Từ đó: SS  kd 0; kd 0 (2.15) b  k Giả thiết nghiệm là quá trình ngẫu nhiên dừng nên đáp ứng x , x là độc lập, nghĩa là xx 0 , giải hệ phương trình (2.15) thu được: xg x, x  xg x, x b ,k (2.17) x2 x2 Phương trình (2.11) và (2.17) lập thành hệ phương trình xác định 3 ẩn số x(t), b, k. Thuật toán lặp thường được áp dụng được
9. 7 đề xuất bởi Atalik và Utku [59] như sau: a) Gán giá trị ban đầu cho các mô men bậc hai x2, x 2 . b) Dùng (2.17) để xác định các hệ số tuyến tính. c) Giải phương trình (2.11) để tìm mô men bậc hai tức thời mới x2, x 2 . d) Lặp lại b) và c) cho tới khi đạt được độ chính xác đã định. Ta xét hệ phi tuyến nhiều bậc tự do chịu kích động ngẫu nhiên: Mx + Cx  + Kx + Φ x,x ,, x = Q t (2.20) trong đó x - véc tơ gia tốc, x - véc tơ vận tốc và x - véc tơ chuyển dịch MCK m ,, c k là các ma ij n n ij n n ij n n trận khối lượng, ma trận cản và ma trận độ cứng; Φ x,x, x - véc tơ hàm phi tuyến, Q t là véc tơ quá trình ồn trắng có trung bình không và ma trận mật độ phổ S  S  trong đó là hàm ij n n Sij  mật độ phổ chéo của hai phần tử và . Ta có hệ TTHTĐ như Qi Q j sau: M+Me q C+C e q  K+K e q Q t , (2.21) trong đó M,C,Ke e e là các ma trận khối lượng, cản và độ cứng tương đương. Trong phương trình (2.21) ta sử dụng ký hiệu q t để chỉ ra rằng đây chỉ là một nghiệm xấp xỉ của x t trong phương trình phi tuyến gốc (2.20). Sai số giữa hệ (2.20) và hệ (2.21) là e Φq,q,q   Mq+Cq+Kqe  e  e . (2.22) Tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình đòi hỏi cực tiểu hóa của trung bình bình phương sai số e theo M,C,Ke e e : E eT e min . (2.24) e e e M,C,K
10. 8 Trong đó kỳ vọng trong vế trái của (2.24) được tính theo hàm mật độ xác suất đồng thời của (2.21). Atalik và Utku (1976) [59] cho thấy tiêu chuẩn (2.24) dẫn tới phương trình sau: T EE zzT M e C e K e zΦ T z , (2.25) 2.2. Một số tiêu chuẩn tuyến tính hóa tương đương cải tiến Trong nhiều thập kỷ, nhiều nghiên cứu về các tiêu chuẩn tuyến tính hóa tương đương đã được đề xuất để nâng cao độ chính xác của phương pháp tuyến tính hóa tương đương [11-24, 20-24, 67, 68]. 2.3 Tiêu chuẩn sai số trung bình bình phương địa phương-tổng thể Trong mục này ta sẽ đề xuất tiêu chuẩn TTH tương đương mới gọi là Tiêu chuẩn sai số trung bình bình phương địa phương-tổng thể. Ta xét dao động ngẫu nhiên phi tuyến một bậc tự do dạng: x 2 hx  2 x g (x  , x )  ( t ) (2.47) 0 trong đó các ký hiệu được dùng như đã trình bày ở trên. Phương trình tuyến tính hóa tương đương của (2.47) có dạng: x 2 hx  2 x  x   x  ( t ) (2.48) 0 trong đó λ, μ là các hệ số tuyến tính hóa. Sai số phương trình giữa (2.47) và (2.48) sẽ là: e x, x g x, x x x (2.49) Tiêu chuẩn kinh điển sẽ cho [29, 44] e2 ( x , x ) P ( x , x  ) dxdx  min (2.51) ,  Trong đó P(,) x x là hàm mật độ xác suất (PDF) của x và x :
11. 9 g ( x, x) x g ( x, x) x  ,  . (2.53) x 2 x 2 Do khoảng tích phân trong (2.51) là ( , ), tiêu chuẩn (2.51) được gọi là tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình tổng thể. Với giả thiết rằng phép lấy tích phân cần tập trung để cho nghiệm chính xác hơn, Anh và Di Paola đề nghị tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương (LOMSEC) [15]: x0 x 0 e2 ( x , x ) P ( x , x  ) dxdx  min (2.54) ,  x x 0 0 trong đó x0 , x0 là hai giá trị dương. Tích phân (2.54) có thể biến đổi cho các biến không thứ nguyên x0 rx, x 0 r  x với r là một số dương nào đó,  x và  x là độ lệch chuẩn của x và x : rx r  x [(,)]exx2 exxPxxdxdx 2 (,)(,)    min (2.55) ,  rx r  x trong đó [.] ký hiệu giá trị trung bình xác suất địa phương: rx r  x [.](.)(,) P x x d xd x  (2.56) rx r  x Tương tự ta có: g(,)(,) x x x  g xx x  (),().r  r (2.57) 2 2 x x Ta thấy từ (2.57) các hệ số TTH địa phương (LOMSEC) sẽ là hàm số của r,  (r ),   ( r ) . Sử dụng quan điểm đối ngẫu ta có thể đề nghị cho r thay đổi trên toàn miền giá trị không âm và các hệ số TTH ,  có thể chọn bằng giá trị trung bình toàn thể như sau [24]:
12. 10 1 s  ()(),r Lim  r dr s s 0 (2.60) 1 s  ()().r Lim  r dr s s 0 Ta thu được từ LOMSEC một tiêu chuẩn TTH mới gọi là tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương - tổng thể (GLOMSEC). Tiếp theo, ta sẽ phát triển tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương - tổng thể (GLOMSEC) cho hệ nhiều bậc tự do: z g z f t (2.61) T z z1, z 2 , , zn là vec tơ các biến trạng thái, n là số tự nhiên, g là hàm phi tuyến của biến vec tơ z, f(t) là quá trình ngẫu nhiên chuẩn có giá trị trung bình bằng không. Ký hiệu: e z z g z f t (2.62) Đưa vào các phần tử tuyến tính mới trong (2.62) như sau: e z z Az Az g z f t (2.64) Trong đó A aij  là ma trận n×n. Gọi vector y là một lời giải dừng của phương trình tuyến tính sau: y Ay f t 0 (2.65) Từ (2.64) và (2.65) ta có: e y Ay g y (2.66) Ký hiệu p(y) hàm mật độ PDF của véctơ đáp ứng y của phương trình (2.65). Theo tiêu chuẩn LOMSEC ta có: y0 y0 2 1 y1 n yn 2 ei y  n ei y p y dy min, i,j = 1, ,n y0 y0 1 y1 n yn aij Ta có:
13. 11 T T 1 A g y y  yy  (2.72) Thuật toán lặp được áp dụng tương tự với thuật toán được đề xuất bởi Atalik và Utku [59]. Theo tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương - tổng thể (GLOMSEC), các hệ số TTH aij có thể chọn bằng giá trị trung bình toàn thể như sau: 0 0 0 aij a ij( y1 , y 2 , y n ) y 0 y 0 1 1 n Lim ayy (0 , 0 , ydydydy 0 ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ij1 2 n 1 2 n y1, y 2 , yn y y y 1 2 n 0 0 Kết luận chương 2 Chương hai đi sâu vào việc xây dựng tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương - tổng thể (GLOMSEC) cho hệ một và nhiều bậc tự do. Các kết quả trong chương 2 được trình bày trong các bài báo [1,6] trong Danh sách các công bố của luận án. CHƯƠNG 3. ỨNG DỤNG TIÊU CHUẨN GLOMSEC TRONG PHÂN TÍCH CÁC HỆ DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN PHI TUYẾN MỘT BẬC TỰ DO 3.1. Phân tích miền tập trung đáp ứng của hệ phi tuyến 3.1.1. Hệ dao dộng Duffing chịu kích động ồn trắng 3.1.2 Hệ dao dộng có cản phi tuyến chịu kích động ồn trắng Ta xét hệ dao dộng có cản phi tuyến chịu kích động ồn trắng: x  1 x2 x  2 x  x d  t (3.6) Hàm mật độ xác suất hai chiều chính xác PDF của hệ [29, 44]:
14. 12  2  p x, x C exp x2 x  2 0.5 x 2 x  2 (3.7)  d  trong đó C là hằng số chuẩn. Nếu Prob a x a được chọn trước khi đó vùng a, a sẽ được xác định theo công thức: a Prob a x a p x , x dx  dx (3.8) a Giả sử ta chọn Prob a x a 0.98 và xét tham số d = 2 trong khi tham số phi tuyến  thay đổi. Khi đó sẽ thu được các giá trị a (Bảng 3.2). Từ Bảng 3.2 ta cũng nhận thấy rằng miền hữu hạn [-a, a] trong đó các đáp ứng tập trung với xác suất 0.98. Các quan sát cho thấy miền đáp ứng co lại khi tham số phi tuyến  tăng thể hiện trên Bảng 3.2. và Hình 3.2 như sau. Bảng 3.2. Các giá trị của a phụ thuộc theo   0.1 0.5 1 5 10 30 50 80 100 a 2.92 2.04 1.78 1.36 1.26 1.15 1.11 1.08 1.07 0.04 0.4 p 0.3 4 p 0.02 0.2 1 2 0.1 0 0 0 -4 x 0 x -1 -2 -2 0 0 -1 x 2 -4 x 4 1 a.  =0.1 b.  =100 Hình 3.2. Đồ thị hàm PDF của hệ cản phi tuyến, ( =0.1; 100)
15. 13 3.2. Các ví dụ ứng dụng tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương-tổng thể (GLOMSEC) 3.2.1 Dao động có cản phi tuyến bậc ba Xét hệ dao động phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên có dạng: x 2 h x   x 3  2 x  t (3.11) o  trong đó h,,, o  là các số thực dương,  t là ồn trắng. Hệ phi tuyến sẽ thay bằng phương trình tuyến tính tương đương x 2 h bx  2 x  t (3.12) o với b là hệ số tuyến tính hóa. Đáp ứng dịch chuyển bình phương trung bình của (3.12) là  2 x2 2 2h b 2 o (3.13) Hệ số TTH b tính theo tiêu chuẩn kinh điển: b 6 h x 2 (3.15) Hệ số TTH b tính theo tiêu chuẩn GLOMSEC sẽ bằng: 1 s T b b( r ) 2 h x2 Lim 2,r dr 2.4119*2 h  x  2 (3.22) s s0 T1,r Thay hệ số tuyến tính hóa (3.22) vào công thức nghiệm (3.13) ta có: h h2 2.4119 h 2 x2 (3.23) GL 2 2*2.4119ho Để đánh giá các nghiệm xấp xỉ, ta sử dụng nghiệ m xác định bằng
16. 14 phương pháp phi tuyến hóa tương đương x 2 [29]. Sai số tương ENL đối giữa tính theo phần trăm giữa các nghiệm xấp xỉ x 2 , x2 GL kd so với nghiệm chính xác x 2 tính theo công thức (3.24): ENL x2 x 2 x 2 x 2 Err kd cx*100%, Err GL cx *100% ()()Cx2 GL x 2 cx cx (3.24) Trong Bảng 3.4, kết quả cho thấy nghiệm x 2 có độ chính GL xác tốt hơn so với nghiệm x2 , cụ thể sai số lớn nhất của kd GLOMSEC chỉ là 1.93%. Bảng 3.4. Momen bậc hai của đáp ứng của hệ dao động cản phi tuyến với h 0.05,o 1,  4 h , và γ thay đổi Err()C Err()GL γ x2 x2 x2 ENL kd % GL % 1 0.4603 0.4342 5.61 0.4692 1.93 3 0.3058 0.2824 7.65 0.3090 1.05 5 0.2479 0.2270 8.32 0.2495 0.77 8 0.2025 0.1844 8.99 0.2032 0.35 10 0.1835 0.1667 9.16 0.1839 0.22 3.2.2. Dao động trong hệ Van der Pol với kích động ồn trắng Xét dao động Van der Pol được mô tả bởi phương trình x   x2x   2 x  t (3.25) o
17. 15  trong đó ,,,  o  là các số thực dương,  t là kích động ồn trắng Gauss cường độ đơn vị. Ta thay hàm phi tuyến của lực cản g x, x  x2 x  bằng hàm tuyến tính bx , trong đó b là hệ số TTH. x  b x  2 x  t (3.26) o Hệ số TTH b tính theo tiêu chuẩn kinh điển sẽ bằng b  x2 (3.29) Hệ số TTH b tính theo tiêu chuẩn GLOMSEC sẽ bằng: 1 s T b b( r )  x2 Lim 1,r dr 0.8371  x 2 (3.34) s s0 T0,r Dịch chuyển bình phương trung bình x 2 của hệ Van der Pol GL (3.25) tính theo tiêu chuẩn GLOMSEC: 1 1,6742 2 x2   2 2 (3.36) GL 2 1,6742 o Để đánh giá các nghiệm xấp xỉ, ta sử dụng nghiệm mô phỏng Monte Carlo, [29]. Sai số tương đối giữa các nghiệm xấp xỉ x 2 , GL x2 so với nghiệm mô phỏng x 2 tính theo công thức (3.24). kd MC Bảng 3.5 Đáp ứng bình phương trung bình của dao động Van 2 der Pol với α*ε=0.2;  0 =1;*  =2; σ thay đổi. Err Err 2 2 2 ()C 2 ()GL  x x x MC kd % GL % 0.02 0.2081 0.1366 34.33 0.1574 24.32 0.20 0.3608 0.2791 22.46 0.3113 13.52
18. 16 1.00 0.7325 0.5525 24.58 0.6095 16.79 2.00 1.0310 0.7589 26.40 0.8349 19.02 4.00 1.4540 1.0513 27.70 1.1544 20.61 Trong bảng 3.5, kết quả x 2 có độ chính xác tốt hơn so với GL x 2 , trong đó các giá trị sai số lớn nhất tương ứng là 24.32% so kd với 34.33%. 3.2.3 Dao động trong hệ Duffing với kích động ngẫu nhiên Ta xét hệ dao động Duffing chịu kích động ngẫu nhiên có dạng: x 2 hx  2 x  x 3  t (3.37) o Các ký hiệu giống như ví dụ trước. Nghiệm chính xác [29, 44] 4h 1 1  x2exp  2 x 2  x 4 dx 2 o  2  2 4  x (3.39) cx 4h 1 1  exp 2x 2  x 4 dx 2 o   2 4  Phương trình tuyến tính hóa tương đương sẽ là: x 2 hx  2 x kx  t (3.40) o Hệ số TTH k tính theo tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương – tổng thể (GLOMSEC) sẽ bằng: s s 1 1 T2,r k kr()() Lim krdr Lim  x2 dr s s s0 s 0 T1,r 1 s T  x2 Lim 2,r dr 2.4119  x 2 s s T 0 1,r (3.48)
19. 17 Dịch chuyển bình phương trung bình x 2 của hệ Duffing GL (3.37) tính theo tiêu chuẩn GLOMSEC:: 1  2 x2  2  4 2.4119 (3.49) GL o o 2*2.4119 h Sai số tương đối giữa nghiệm xấp xỉ x 2 , x 2 với nghiệm GL kd chính xác x 2 được tính theo (3.24) và trình bày trong Bảng 3.6. cx Bảng 3.6 Đáp ứng bình phương trung bình của hệ dao động Duffing với  1,h 0.25,  1;theo hệ số đàn hồi phi tuyến  o Err()C Err()GL  x2 x2 x2 cx kd % GL % 0.1 0.8176 0.8054 1.49 0.8327 1.857 1.0 0.4680 0.4343 7.194 0.4692 0.263 10 0.1889 0.1667 11.768 0.1839 2.626 100 0.0650 0.0561 13.704 0.0624 4.076 Kết quả cho thấy nghiệm xấp xỉ xác định theo tiêu chuẩn kinh điển có độ chính xác tốt với hệ số đàn hồi phi tuyến  nhỏ, sai số tăng lên trên 13% khi hệ số đàn hồi phi tuyến tăng lên. Độ chính xác của tiêu chuẩn GLOMSEC là tốt hơn với sai số lớn nhất là 4.1%. 3.2. 4. Hệ Duffing với cản phi tuyến chịu kích động ồn trắng 3.2.5. Dao động của tàu thủy Chuyển động lăn của tàu trong sóng ngẫu nhiên đã được xét bởi [55], [56], [57]. Phương trình chuyển động của tàu có dạng [56-57]    2 2D  ( t ) (3.63)
20. 18 Áp dụng TTH tương đương hệ (3.63) thay bằng hệ tuyến tính e   c  2 D  ( t ) (3.66) Hệ số tuyến tính hóa c e theo tiêu chuẩn GLOMSEC: s s T 1 1 t3 , r ce c e( r ) Lim c e ( r ) dr E { 2 } 1/ 2 Lim dr 1.49705 E {  2 } 1/2 s s s0 s 0 T1,r Mô men bậc 2 của đáp ứng theo tiêu chuẩn GLOMSEC là: 2/3 DDD EE 2  2 0.76415 GL  GL e 2 1/2 c1.49705 E {  } Mô men bậc 2 của đáp ứng theo tiêu chuẩn kinh điển là: 2/3 DDD EE 2  2 0.7323 CC  e 2 1/2 c1.5958 E {  } Mô men bậc 2 theo tiêu chuẩn phi tuyến hóa tương đương là: 2/3 2 2 D EE    0.765 ENL ENL Sai số tương đối của nghiệm tính theo tiêu chuẩn kinh điển và tiêu chuẩn GLOMSEC so với nghiệm tính theo tiêu chuẩn phi tuyến hóa tương đương theo công thức (3.24), ta có: Err()()C 4.314%; Err GL 0.130% Kết quả cho thấy rằng lời giải của GLOMSEC phù hợp với lời giải của ENL. Như vậy GLOMSEC mang lại một sự cải thiện đáng kể về tính chính xác của lời giải so với tiêu chuẩn kinh điển. Kết luận chương 3 Trong chương 3 đã ứng dụng Tiêu chuẩn GLOMSEC để phân tích mô men đáp ứng bậc hai cho một số hệ dao động phi tuyến ngẫu nhiên một bậc tự do. Các ví dụ áp dụng đã khẳng định ưu điểm nổi
21. 19 bật của kỹ thuật được đề xuất trong tiêu chuẩn GLOMSEC. Các kết quả được trình bày trong [1,3,5], Danh sách các công bố của luận án. CHƯƠNG 4. ỨNG DỤNG TIÊU CHUẨN GLOMSEC TRONG PHÂN TÍCH CÁC HỆ DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN PHI TUYẾN NHIỀU BẬC TỰ DO 4.1. Hệ dao động phi tuyến hai bậc tự do Ta xét hệ dao động phi tuyến hai bậc tự do được mô tả bởi hệ phương trình sau [77] 3 1 0 x  0 x  2 a x x3 b x x w ( t ) 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 3 3 0 1 x20  1  2x  2a  x 2  w 2 ( t ) 2 2x 22 b x 2 x 1 (4.1) trong đó: i,,,,a b  i  i (i=1, 2) là các hằng số. w1( t ), w 2 ( t ) là các quá trình ồn trắng, trung bình bằng không và E wi( t ) w i ( t  ) 2 S i  (  ) (i=1, 2), ()  là hàm Delta Dirac, SS1, 2 = const. Hệ phương trình tuyến tính hóa tương đương sẽ là 1 0 x  ce c e x   2 k e a k e x w() t 1 1 11 12 1 1 11 12 1 1  e e  e2 e 0 1 x2 c21  1  2 c 22 x 2 a k 21  2 k 22 x 2 w 2 () t (4.4) trong đó ce, k e ; ( i , j 1,2) là các hệ số tuyến tính hóa. Sai số ij ij giữa hệ phi tuyến gốc và hệ tuyến tính hóa tương đương sẽ là  (,)x x CXKXe e (4.5) 3  x3 b x x (,)x x 1 1 1 1 2 3 3 2  2x 22 b x 2 x 1 ce c e x k e k e x e11 12 1 e 11 12 X 1 ; (4.6) CXK e e ;;; e e c cx k k x 21 22 2 21 22 2
22. 20 Để đơn giản hóa việc tính toán, ta giả thiết x1, x 2 là độc lập với nhau. Sử dụng phụ lục và lưu ý 2n 1 2 m 1 . Áp dụng E xi x j 0 ( i j ) Tiêu chuẩn GLOMSEC ta xác định: s e e 2 1 T2,r , c11 c 11() r 1 E x 1 Lim dr  s s0 T1,r s T e e 2 1 2,r c22 c 22() r 2 E x 2 Lim dr  s s0 T1,r s s e e 2 1TT2,r 2 1 1, r k11 k 11( r ) b E x 1 Lim dr 3 E x 2  Lim dr . s s T s s T 01,r 0 0, r s s e e 2 1TT2,r 2 1 1, r k12 k 12( r ) b E x 2 Lim dr 3 E x 1  Lim dr . s s T s s T 01,r 0 0, r s s e e 2 1TT2,r 2 1 1, r k21 kr 21( ) bExLim 1 dr 3 ExLim 2  dr . s s T s s T 01,r 0 0, r s s e e 2 1TT2,r 2 1 1, r k22 k 22( r ) b E x 2 Lim dr 3 E x 1  Lim dr . s s T s s T 01,r 0 0, r (4.11) Các giới hạn trong (4.11) sẽ bằng: s s 1 T2,r 1 T1,r lim dr 2.41189 lim dr 0.83706 s s T s s T 0 1,r , 0 0r (4.12) Để đánh giá lời giải gần đúng trong khi hệ phi tuyến gốc không có lời giải chính xác, ta sử dụng hàm mật độ xác suất gần đúng theo phương pháp phi tuyến hóa tương đương (ENL) [77]. Bảng 4.1 trình bày các mô men đáp ứng bậc hai gần đúng cũng như các sai số tương đối của chúng so với các lời giải theo phương pháp ENL
23. 21 Bảng 4.1. Các mô men bậc hai của đáp ứng của x, x theo 1 2 1 2 với 1  2  1  2 a b S 0 1. , Err Err Err 1 2 ()C 2 2 2 ()C 2 ()GL E x E x Err()GL E x E x E x 1 ENL 2 1 GL 2 ENL 2 C 2 GL E x1  % % % 2 C % 0.1 1.573 1.216 22.68 1.407 10.54 1.573 1.151 26.83 1.327 15.64 1 0.496 0.422 15.07 0.488 1.59 0.496 0.370 25.51 0.419 15.50 5 0.253 0.220 13.19 0.254 0.268 0.253 0.205 19.19 0.234 7.573 10 0.194 0.171 12.07 0.197 1.533 0.194 0.162 16.48 0.186 4.178 Ta thấy rằng GLOMSEC mang lại sự cải thiện tốt về độ chính xác của lời giải, đặc biệt khi tính phi tuyến vừa và mạnh. 4.2. Hệ dao động phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên ồn màu Việc đưa hệ 1 bậc tự do chịu kích động ồn màu vào Chương 4 là vì quá trình ngẫu nhiên ồn màu được mô tả là một quá trình ồn trắng đi qua bộ lọc vi phân bậc hai. Phương trình dao động được giải cùng với phương trình bộ lọc do vậy có thể xem như hệ nhiều bậc tự do. 4.2.1. Mở rộng GLOMSEC cho trường hợp chịu kích động ngẫu nhiên ồn màu 4.2.2. Hệ Duffing chịu kích động ngẫu nhiên ồn màu Ta xét hệ Duffing chịu kích động ngẫu nhiên ồn màu như sau   2 3 z  z () z  z f (4.41) với f là kích động ngẫu nhiên ồn màu f f  2 f  2 w . (4.22) f f Phương trình phi tuyến dược thay thế bằng phương trình TTHTĐ x cx  kx f (4.27)
24. 22 Ta có hệ số TTH theo tiêu chuẩn GLOMSEC: k 2 2.41189  2 2 , c  . (4.45) x Ta có hệ số TTH theo tiêu chuẩn kinh điển: 2 2 2 k  3 x , c  (4.46) Ta có hệ số TTH theo tiêu chuẩn cân bằng năng lượng: 2 2 2 k  2.5 x , c  (4.50) 2 2 2 Sai số tương đối giữa các nghiệm xấp xỉ  x, GL ,  x, C so với  x, E 2 và trình bày trong bảng 4.3. Kết quả cho thấy nghiệm  x, GL có độ 2 chính xác tốt hơn nhiều so với nghiệm  x, C , cụ thể đối với sai số lớn nhất tương ứng là 2.392% so với 11.398%. Bảng 4.3. Mô men bậc hai của đáp ứng với , 2 ,S, ,  2 1  f , thay đổi. 2 2 2    x, E x, C ErrC % x, GL ErrGL % 0.1 1.86038 1.75024 5.920 1.88195 1.159 1 0.66376 0.60015 9.583 0.67688 1.977 10 0.16687 0.14855 10.979 0.17072 2.307 100 0.03720 0.03296 11.398 0.03809 2.392 4.2.3. Hệ Duffing có cản phi tuyến chịu kích động ồn màu Ta xét hệ Duffing có cản phi tuyến bậc 3 chịu kích động ngẫu nhiên ồn màu như sau   3 3 z  z  z  z f (4.51) với f là kích động ngẫu nhiên ồn màu xác định bởi (4.22). Phương trình phi tuyến được thay thế bằng phương trình TTHTĐ (4.27).
25. 23 Ta có hệ số TTH theo tiêu chuẩn GLOMSEC: k 2 2.41189 2 , c  2.41189  2 . (4.54) x x Ta có hệ số TTH theo tiêu chuẩn kinh điển: 2 2 2 k  3x , c  3  x . (4.55) 2 2 Sai số tương đối giữa các nghiệm xấp xỉ  x, GL ,  x, C so với 2 nghiệm mô phỏng Monte Carlo  x, MC và trình bày trong Bảng 4.4. 2 Kết quả cho thấy nghiệm  x, GL có độ chính xác tốt hơn so với 2 nghiệm  x, C thu được bằng phương pháp kinh điển. 2 Bảng 4.4. Mô men bậc hai của đáp ứng với ,  ,S, , f 1,  thay đổi. 2 2 2    x, MC x, C ErrC % x, GL ErrGL % 0.1 2.62060 2.14097 18.302 2.46218 6.045 1 0.82554 0.65974 20.084 0.76111 7.805 10 0.22073 0.16413 25.642 0.19043 13.727 100 0.05138 0.03502 30.841 0.04067 20.845 Kết luận chương 4 Trong chương 4 đã ứng dụng tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương – tổng thể (GLOMSEC) để phân tích mô men đáp ứng bậc hai cho một số hệ dao động phi tuyến ngẫu nhiên nhiều bậc tự do và hệ dao động phi tuyến ngẫu nhiên một bậc tự do chịu kích động ngẫu nhiên ồn màu dải hẹp. Các kết quả trong chương 4 được trình bày trong [1,2,4,6] trong Danh sách các công bố của luận án.
26. 24 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 1. Kết luận của luận án Kết luận chung Phương pháp tuyến tính hóa tương đương (TTHTĐ) là một trong những phương pháp được sử dụng phổ biến nhất, một phương pháp hữu hiệu đối với các hệ phi tuyến có hệ số phi tuyến yếu. Với các hệ phi tuyến có hệ số phi tuyến lớn hơn, độ chính xác của phương pháp này giảm đáng kể. Luận án tập trung nghiên cứu phát triển phương pháp TTHTĐ để cải thiện sai số khi phân tích dao động phi tuyến. Những đóng góp mới của luận án - Đã xây dựng tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương - tổng thể (GLOMSEC) cho hệ dao động phi tuyến một và nhiều bậc tự do chịu kích động ngẫu nhiên ồn trắng. - Đã ứng dụng tiêu chuẩn trên để phân tích mô men đáp ứng bậc hai cho một số hệ dao động phi tuyến một và nhiều bậc tự do chịu kích động ngẫu nhiên ồn trắng. - Đã phát triển tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương – tổng thể (GLOMSEC) cho hệ dao động phi tuyến ngẫu nhiên một bậc tự do chịu kích động ngẫu nhiên ồn màu dải hẹp. - Các ví dụ áp dụng đã khẳng định ưu điểm nổi bật của tiêu chuẩn GLOMSEC là tiêu chuẩn GLOMSEC cho nghiệm xấp xỉ với sai số nhỏ khi phân tích mô men đáp ứng bậc hai cho hệ dao động phi tuyến ngẫu nhiên có tính phi tuyến trung bình và lớn. 2. Hướng nghiên cứu tiếp theo Các kết quả nghiên cứu của luận án có thể được phát triển cho các hệ phi tuyến nhiều bậc tự do chịu kích động ồn màu, hệ dao động chịu đồng thời kích động ngẫu nhiên và kích động tham số, hệ cơ điện tử.
27. DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ 1. Luu Xuan Hung, Nguyen Cao Thang, Performance analysis of global-local mean square error criterion of stochastic linearization for nonlinear oscillators, Vietnam Journal of Mechanics, 2019, Vol. 41, No. 1, pp.1-15, DOI: 2. Luu Xuan Hung, Nguyen Cao Thang, A new stochastic linearization technique for nonlinear oscillators under colored noise excitation, 10th National Conference on Mechanics, 2017, Vol. 1, pp.211-220, Hanoi. 3. Luu Xuan Hung, Nguyen Cao Thang, Analysis of randomly excited nonlinear oscillators by the global-local mean square error criterion, 4th International Conference on Engineering Mechanics and Automation (ICEMA 4), 2016, pp.197-204, Hanoi. 4. Luu Xuan Hung, Nguyen Cao Thang, Extension of Global-local mean square error criterion to nonlinear oscillators under narrow band excitation, J. of Multidisciplinary Engineering Science Technology, 2016¸ 3, Iss. 11, pp.6000-6005 (Tạp chí quốc tế). 5. Luu Xuan Hung, Nguyen Cao Thang, A new improvement of Gaussian equivalent linearization for stochastic nonlinear oscillators, 2nd National Conference on Mechanical Engineering and Automation, 2016, pp.274-280, Hanoi. 6. N.D. Anh, L.X. Hung, L.D. Viet, N.C. Thang, Global-local mean square error criterion for equivalent linearization of nonlinear systems under random excitation, Acta Mechanica, 2015, 226, N9, pp.3011-3029, DOI: 10.1007/s00707-015-1332-4 (Tạp chí SCI).