NGHIÊN CỨU ỨNG XỬ TĨNH, ỔN ĐỊNH VÀ DAO ĐỘNG DẦM COMPOSITE VỚI TIẾT DIỆN KHÁC NHAU

Nội dung tài liệu: NGHIÊN CỨU ỨNG XỬ TĨNH, ỔN ĐỊNH VÀ DAO ĐỘNG DẦM COMPOSITE VỚI TIẾT DIỆN KHÁC NHAU

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NGUYỄN NGỌC DƯƠNG NGHIÊN CỨU ỨNG XỬ TĨNH, ỔN ĐỊNH VÀ DAO ĐỘNG DẦM COMPOSITE VỚI TIẾT DIỆN KHÁC NHAU TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ NGÀNH: CƠ KỸ THUẬT MÃ SỐ: 9520101 TP. HCM, 12/2019
2. Lời cam đoan Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tơi dưới sự tư vấn của giáo sư hướng dẫn. Các kết quả trong luận án này khơng trùng với bất kỳ một nghiên cứu nào khác đã được cơng bố. Nghiên cứu sinh: Nguyễn Ngọc Dương Chữ ký: i
3. Tĩm tắt Ngày nay, vật liệu composite được sử dụng phổ biến trong nhiều lĩnh vực kỹ thuật nhờ vào độ cứng và cường độ cao, hệ số giãn nở vì nhiệt thấp và khả năng chống ăn mịn tốt. Trong các loại kết cấu composite, dầm composite được sử dụng rộng rãi và thu hút sự quan tâm rất lớn của các nhà nghiên cứu. Nhiều lý thuyết dầm được đề xuất để phân tích tĩnh, ổn định và dao động của dầm. Các lý thuyết dầm bao gồm lý thuyết dầm Euler, lý thuyết bậc nhất, lý thuyết bậc cao và lý thuyết tựa ba chiều. Các lý thuyết này phù hợp cho các dầm cĩ kích thước lớn, khi dầm cĩ kích thước nhỏ hoặc siêu nhỏ phải kể đến hiệu ứng kích thước bằng cách sử dụng các lý thuyết phi cổ điển. Một trong những lý thuyết phi cổ điển được sử dụng hiệu quả và đơn giản đĩ là lý thuyết hiệu chỉnh ứng suất. Bên cạnh việc phát triển lý thuyết, để dự báo chính xác ứng xử của dầm, các nhà khoa học đã đề xuất nhiều phương pháp bao gồm phương pháp số, giải tích và bán giải tích. Mặc dù, các phương pháp số được sử dụng ngày càng nhiều nhưng các nhà khoa học cũng rất quan tâm các phương pháp giải tích nhờ vào sự chính xác và đơn giản của nĩ. Trong đĩ, phương pháp Ritz cĩ tính tổng quát nhất và cĩ thể áp dụng cho các bài tốn cĩ điều kiện biên bất kỳ. Tính hiệu quả của phương pháp Ritz phụ thuộc vào hàm xấp xỉ được chọn trước. Hiện tại, hàm đa thức và đa thức trực giao được sử dụng khá phổ biến để phân tích ứng xử dầm. Hàm đa thức thường khơng thỏa các điều kiện biên động học nên nhân tử Lagrange hoặc hàm phạt được sử dụng để khử điều kiện biên. Hướng tiếp cận này làm cho chi phí tính tốn tăng lên. Trong khi đĩ, hàm đa thức trực giao cĩ thể thỏa được các điều kiện biên của bài tốn nhưng nĩ hầu như khơng được sử dụng trong phân tích tĩnh bài tốn dầm. Vì vậy, việc phát triển các hàm xấp xỉ đơn giản và hiệu quả để phân tích ứng xử tĩnh, dao động tự do và ổn định của dầm là cần thiết và cĩ ý nghĩa khoa học. Với ý tưởng đĩ, luận án đề xuất các hàm xấp xỉ mới phân tích ứng xử dầm composite cĩ tiết diện và điều kiện biên khác nhau. Trường chuyển vị dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất, bậc cao ii
4. và lý thuyết tựa ba chiều. Hiệu ứng kích thước được khảo sát bằng cách sử dụng lý thuyết hiệu chỉnh ứng suất. Ảnh hưởng của hệ số Poisson được kể đến trong quy luật ứng xử. Phương trình chủ đạo được thiết lập từ nguyên lý Lagrange. Các kết quả số được giới thiệu và so sánh với các kết quả đã cơng bố. Các ảnh hưởng của hướng sợi, tỷ số chiều dài/chiều cao, tính dị hướng của vật liệu, biến dạng cắt, biến dạng pháp tuyến đến chuyển vị, ứng suất, tần số, dạng dao động và lực ổn định của dầm được khảo sát. Một số kết quả lần đầu tiên được cơng bố làm cơ sở so sánh cho lời giải số. Bên cạnh đĩ, nghiên cứu về tính hiệu quả của hàm xấp xỉ cho điều kiện biên tựa đơn-tựa đơn và ngàm-ngàm được thực hiện. iii
5. Danh sách các bài báo đã cơng bố Các bài báo trong tạp chí thuộc danh mục ISI cĩ phản biện: 1. N.-D. Nguyen, T.-K. Nguyen, T.P. Vo, T.-N. Nguyen, and S. Lee, Vibration and buckling behaviours of thin-walled composite and functionally graded sandwich I-beams, Composites Part B: Engineering. 166 (2019) 414-427. 2. N.-D. Nguyen, T.-K. Nguyen, T.P. Vo, and H.-T. Thai, Ritz- based analytical solutions for bending, buckling and vibration behavior of laminated composite beams, International Journal of Structural Stability and Dynamics. 18(11) (2018) 1850130. 3. N.-D. Nguyen, T.-K. Nguyen, H.-T. Thai, and T.P. Vo, A Ritz type solution with exponential trial functions for laminated composite beams based on the modified couple stress theory, Composite Structures. 191 (2018) 154-167. 4. N.-D. Nguyen, T.-K. Nguyen, T.-N. Nguyen, and H.-T. Thai, New Ritz-solution shape functions for analysis of thermo-mechanical buckling and vibration of laminated composite beams, Composite Structures. 184 (2018) 452-460. 5. T.-K. Nguyen, N.-D. Nguyen, T.P. Vo, and H.-T. Thai, Trigonometric-series solution for analysis of laminated composite beams, Composite Structures. 160 (2017) 142-151. Các bài thuộc tạp chí trong nước cĩ phản biện: 6. T.-K. Nguyen and N.-D. Nguyen, Effects of transverse normal strain on bending of laminated composite beams, Vietnam Journal of Mechanics. 40(3) (2018) 217-232. 7. X.-H. Dang, N.-D. Nguyen, T.-K. Nguyen, Dynamic analysis of composite beams resting on winkler foundation, Vietnam Journal of Construction (8-2017) 123-129. 8. N.-D. Nguyen, T.-K. Nguyen, T.-N. Nguyen, Ritz solution for buckling analysis of thin-walled composite channel beams based on a iv
6. classical beam theory, Journal of Science and Technology in Civil Engineering (STCE)-NUCE. 13(3) (2019) 34-44 Các bài báo hội nghị cĩ phản biện: 9. N.-D. Nguyen, T.-K. Nguyen, T.-N. Nguyen, and T.P. Vo, Bending Analysis of Laminated Composite Beams Using Hybrid Shape Functions, International Conference on Advances in Computational Mechanics. (2017), (503-517). 10. N.-D. Nguyen, T.-K. Nguyen, Free vibration analysis of laminated composite beams based on higher – order shear deformation theory. Proceeding of National Confrence-Composite Material and Structure (2016) 157-164. 11. N.-D. Nguyen, T.-K. Nguyen, and T.P. Vo, Hybrid-shape- functions for free vibration analysis of thin-walled laminated composite I-beams with different boundary conditions, Proceeding of National Mechanical Confrence (2017) 424-433 v
7. Mục lục Lời cam đoan i Tĩm tắt ii Danh sách các bài báo đã cơng bố iv Mục lục vi Danh mục các hình vẽ viii Danh mục các bảng biểu viii Danh pháp ix Từ viết tắc xii Chương 1. GIỚI THIỆU 1 1.1. Vật liệu composite 1 1.1.1. Vật liệu gia cường và vật liệu nền 1 1.1.2. Vật liệu composite lớp 1 1.1.3. Phạm vi ứng dụng 1 1.2. Tổng quan 1 1.2.1. Tổng quan về tình hình nghiên cứu 1 1.2.2. Mục tiêu của luận án 4 1.3. Bố cục của luận án 5 Chương 2. PHÂN TÍCH DẦM COMPOSITE DÙNG LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT BẬC CAO 5 2.1. Giới thiệu 5 2.2. Mơ hình dầm composite bậc cao 6 2.2.1. Trường chuyển vị và quan hệ ứng xuất - biến dạng 7 2.2.2. Biến phân 7 2.3. Kết quả số 9 vi
8. 2.4. Kết luận 9 Chương 3. PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG VÀ ỔN ĐỊNH CỦA DẦM COMPOSITE CHỊU TẢI TRỌNG CƠ - NHIỆT 9 3.1. Giới thiệu 10 3.2. Cơ sở lý thuyết 11 3.2.1. Mơ hình dầm sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao 11 3.2.2. Lời giải Ritz 11 3.3. Kết quả số 13 3.4. Kết luận 13 Chương 4. ẢNH HƯỞNG CỦA BIẾN DẠNG PHÁP TUYẾN ĐẾN ỨNG XỬ CỦA DẦM COMPOSITE 14 4.1. Giới thiệu 14 4.2. Cơ sở lý thuyết 14 4.2.1. Trường chuyển vị, quan hệ ứng suất-biến dạng 14 4.2.2. Cơng thức biến phân 15 4.3. Kết quả số 16 4.4. Kết luận 17 Chương 5. PHÂN TÍCH HIỆU ỨNG KÍCH THƯỚC CỦA DẦM COMPOSITE VI MƠ HƯỚNG SỢI BẤT KỲ DÙNG LÝ THUYẾT HIỆU CHỈNH ỨNG SUẤT 17 5.1. Giới thiệu 17 5.2. Cơ sở lý thuyết 19 5.2.1. Động học 19 5.2.2. Quan hệ ứng suất biến dạng 20 5.2.3. Cơng thức biến phân 20 5.2.4. Phương pháp Ritz 20 vii
9. 5.3. Kết quả số 21 5.4. Kết luận 22 Chương 6. PHÂN TÍCH DẦM COMPOSITE THÀNH MỎNG SỬ DỤNG LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT BẬC NHẤT 22 6.1. Giới thiệu 22 6.2. Cơ sở lý thuyết 23 6.2.1. Trường chuyển vị 23 6.2.2. Quan hệ ứng suất biến dạng 24 6.2.3. Nguyên lý biến phân 24 6.2.4. Phương pháp Ritz 25 6.3. Kết quả số 26 6.4. Kết luận 26 Chương 7. NGHIÊN CỨU ỔN ĐỊNH, ĐỘ CHÍNH XÁC VÀ TỐC ĐỘ HỘI TỤ CỦA PHƯƠNG PHÁP RITZ 27 7.1. Giới thiệu 27 7.2. Kết luận 27 Chương 8. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 28 8.1. Kết luận 28 8.2. Kiến nghị 28 Tài liệu tham khảo 29 Danh mục các hình vẽ Hình 2.1. Dầm composite 7 Danh mục các bảng biểu Bảng 2.1. Các hàm xấp xỉ của dầm 8 Bảng 2.2. Điều kiện biên động học của bài tốn 8 viii
10. Bảng 2.3. Chuyển vị tại trung điểm dầm composite (00/900/00) chịu tải trọng phân bố đều (MAT II.2, E1/E2 = 25). 9 Bảng 3.1. Hàm xấp xỉ và điều kiện biên động học của dầm 12 Bảng 3.2. Tần số dao động (Hz) của dầm composite (00/900/00) và (00/900) (MAT II.3). 13 Bảng 4.1. Các hàm xấp xỉ và điều kiện biên động học của dầm. 16 Bảng 4.2. Ứng suất của dầm composite (00/900/00) và (00/900) cĩ điều kiện biên S-S chịu tải trọng phân bố đều (MAT II.4). 16 Bảng 5.1. Các hàm xấp xỉ và điều kiện biên động học. 20 Bảng 5.2. Chuyển vị của dầm đơn giản (MAT II.5). 21 Bảng 6.1. Các hàm xấp xỉ và điều kiện biên động học. 25 Bảng 6.2. Tần số (Hz) của dầm thành mỏng. 26 Danh pháp b, h, L: Chiều rộng, cao và dài của dầm chữ nhật b1 , b2 , b3 : Chiều rộng cánh trên, cánh dưới và chiều cao của dầm chữ I hoặc C h1 , h2 , h3 : Chiều dày cánh trên, cánh dưới và bản bụng của dầm chữ I hoặc C u0 : Chuyển vị dọc trục tại vị trí trục trung hồ w0 : Chuyển vị đứng tại vị trí trục trung hồ u1 : Gĩc xoay của dầm quanh trục y w1 , w2 : Biến dạng bậc cao của dầm f() z : Hàm biến dạng cắt u, v, w: Chuyển vị theo phương x, y và z ix
11. u , v , w : Chuyển vị tại trục trung hồ theo phương x, y và z của dầm thành mỏng t : Thời gian E hoặc E n : Mơ đun đàn hồi Young E1 , E2 , E3 : Mơ đun đàn hồi Young của vật liệu trực hướng G12 , G13 , G23 : Mơ đun cắt  , 12 , 13 ,  23 : Hệ số Poisson p : Thơng số vật liệu 1 , 2 : Hệ số chiều dày của ceramic thuộc cánh trên và cánh dưới của dầm chữ I hoặc C * * 1 , 2 : Hệ số giãn nở vì nhiệt trong hệ toạ độ địa phương x , y , xy : Hệ số giãn nở vì nhiệt trong hệ toạ độ tổng thể  : Hệ số chiều dày của ceramic ở bụng tiết diện chữ I hoặc C : Khối lượng riêng c và m : Khối lượng riêng của ceramic và thép Vc : Thể tích của vật liệu ceramic Cij : Hệ số độ cứng vật liệu trong hệ toạ độ địa phương Cij : Hệ số độ cứng vật liệu trong hệ toạ độ tổng thể * Cij hoặc Cij : Hệ số độ cứng giảm của vật liệu trong hệ toạ độ tổng thể ij hoặc  ij : Biến dạng  ij : Ứng suất Qij : Hệ số độ cứng vật liệu trạng thái ứng suất phẳng trong hệ toạ độ địa phương x
12. Qij : Hệ số độ cứng vật liệu trạng thái ứng suất phẳng trong hệ toạ độ tổng thể E : Năng lượng biến dạng W : Cơng ngoại lực K : Động năng : Tổng năng lượng  j , j ,  j : Các hàm xấp xỉ K : Ma trận độ cứng M : Ma trận khối lượng F: Vec-tơ tải x ,  y , z : Gĩc xoay của dầm micro quanh trục x , y và z  xy ,  zy : Biến dạng cong của dầm micro mxy , mzy : Ứng suất cong của dầm micro kb  b ,  km1 , km2 : Hệ số tỷ lệ chiều dài của vật liệu theo phương x , , y, và z U , V , W : Chuyển vị của tâm cắt P theo phương x, y và z  : Gĩc xoay của dầm thành mỏng quanh trục cực s : Gĩc giữa hệ toạ độ ( n,, s x ) và ( x,, y z )  y ,  z ,  : Gĩc xoay của mặt cắt ngang tiết diện quanh trục y , z và   : Hàm quạt I y , I z : Mơ men quán tính trục y và z IP : Mơ men cực của tiết diện dầm thành mỏng ks : Hệ số biến dạng cắt  : Tần số dao động riêng Ncr : Lực tới hạn xi
13. 0m N0 , N x : Lực dọc do tải trọng cơ 0t N x : Lực dọc do tải trọng nhiệt q: Lực phân bố đều Từ viết tắc BCs: Điều kiện biên C-F: Ngàm-tự do C-S: Ngàm-tựa đơn C-H: Ngàm-khớp cố định C-C: Ngàm-ngàm CUF: Cơng thức Carrera CBT: Lý thuyết dầm cổ điển DQM: Phương pháp sai phân hữu hạn ESLT: Lý thuyết lớp đơn tương đương FOBT: Lý thuyết dầm bậc nhất FEM: Phương pháp phần tử hữu hạn HOBT: Lý thuyết biến dâng cắt bậc cao H-H: Gối cố định-gối cố định LWT: Lý thuyết Layer-wise MAT: Vật liệu MCST: Lý thuyết hiệu chỉnh ứng suất MLSP: Thơng số tỷ lệ chiều dài vật liệu MGLCB: Dầm composite kích thước vi mơ cĩ hướng sợi bất kỳ Quasi-3D: Lý thuyết dầm tựa ba chiều S-S: Tựa đơn-tựa đơn ZZT: Lý thuyết Zig-zag xii
14. Chương 1. GIỚI THIỆU 1.1. Vật liệu composite 1.1.1. Vật liệu gia cường và vật liệu nền Vật liệu composite là vật liệu hỗn hợp, được tạo thành từ hai loại vật liệu trở lên. Các ưu điểm nổi bật của của vật liệu composite là độ cứng và cường độ cao, trọng lượng nhẹ, hệ số giãn nở vì nhiệt thấp và cĩ khả năng chống ăn mịn. Vật liệu composite bao gồm vật liệu nền và vật liệu gia cường, được chia thành ba loại phổ biến sau [1]: (1) Vật liệu sợi: vật liệu gia cường dạng sợi kết hợp với vật liệu nền. (2) Vật liệu hạt: vật liệu gia cường dạng hạt kết hợp với vật liệu nền. (3) Vật liệu lớp: nhiều lớp vật liệu khác nhau tạo thành, trong đĩ mỗi lớp cĩ thể là vật liệu dạng sợi hoặc hạt. 1.1.2. Vật liệu composite lớp Một lớp vật liệu composite (lamina) bao gồm nhiều sợi gia cường nằm trong vật liệu nền. Các sợi gia cường này cĩ thể liên tục hoặc khơng liên tục; phân bồ một chiều, hai chiều hoặc ngẫu nhiên. Vật liệu composite lớp (laminate) bao gồm nhiều lớp vật liệu cĩ hướng sợi khác nhau để đạt được độ cứng hoặc chiều dày mong muốn. Thơng thường, các lớp này cĩ cùng vật liệu nền. Độ cứng và cường độ của vật liệu composite lớp cĩ thể được điều chỉnh bằng cách thay đổi đặc tính vật liệu trong từng lớp. 1.1.3. Phạm vi ứng dụng Hiện nay, vật liệu composite được sử dụng phổ biến trong nhiều ngành kỹ thuật như xây dựng, hàng khơng, cơ khí Ưu điểm nổi bật của vật liệu này là độ cứng và cường độ cao, hệ số giãn nở vì nhiệt thấp và khả năng chống ăn mịn tốt. 1.2. Tổng quan 1.2.1. Tổng quan về tình hình nghiên cứu Để sử dụng vật liệu composite trong thực tiễn, các nhà khoa học đã thực hiện rất nhiều nghiên cứu nhằm phân tích ứng xử của kết cấu composite. Nhiều lý thuyết dầm, quy luật ứng xử và phương pháp được đề xuất để phân tích ứng xử tĩnh, ổn định và dao động của dầm 1
15. composite. Trong phần này, nghiên cứu tổng quan về bài tốn dầm composite được giới thiệu. Phần nghiên cứu chi tiết hơn sẽ được thực hiện ở đầu mỗi chương của Luận án. Nghiên cứu tổng quan về mơ hình của bài tốn dầm composite được thực hiện bởi Ghugal and Shimpi [2]. Dựa vào lý thuyết lớp đơn tương đương, lý thuyết dầm cĩ thể chia làm các loại sau: lý thuyết dầm cổ điển, lý thuyết dầm bậc nhất, lý thuyết dầm bậc cao và lý thuyết dầm tựa ba chiều. Lý thuyết dầm cổ điển bỏ qua ảnh hưởng của biến dạng cắt, vì vậy nĩ chỉ phù hợp với các dầm mỏng. Lý thuyết dầm bậc nhất cĩ kể đến biến dạng cắt, tuy vậy, nĩ yêu cầu một hệ số biến dạng cắt để điều chỉnh sự phân bố của ứng suất cắt theo chiều cao dầm. Để khắc phục khĩ khăn này, các lý thuyết dầm bậc cao được đề xuất bằng cách sử dụng các hàm phân bố biến dạng cắt. Tuy nhiên, lý thuyết này cũng chưa kể đến ảnh hưởng của biến dạng pháp tuyến. Vì vậy, lý thuyết dầm tựa ba chiều được đề xuất. Cĩ thể thấy rằng, sự chính xác của bài tốn dầm phụ thuộc vào việc lựa chọn mơ hình dầm phù hợp và lý thuyết dầm tựa ba chiều là lý thuyết tổng hợp nhất. Nghiên cứu tổng quan của Ghugal and Shimpi [2] cũng cho thấy rằng ảnh hưởng của hệ số Poisson đến ứng xử của dầm chưa được nhiều nhà khoa học quan tâm. Ngồi ra, khi phân tích ứng xử của kết cấu ở kích thước nhỏ, các nghiên cứu thực nghiệm đã chỉ ra vai trị quan trọng của hiệu ứng kích thước. Điều này dẫn đến sự phát triển của các lý thuyết phi cổ điển như lý thuyết đàn hồi phi cục bộ của Eringen [3] và lý thuyết gradient biến dạng [4-6] Dựa vào hướng tiếp cận này, nhiều nghiên cứu đã phân tích các dầm composite cĩ kích thước vi mơ [7-13]. Tuy vậy, các nghiên cứu này chỉ thực hiện trên các dầm composite vi mơ cĩ hướng sợi trực giao (00 và 900) Vì vậy, việc nghiên cứu ứng xử của dầm vi mơ cĩ hướng sợi bất kỳ là cĩ ý nghĩa khoa học và thực tiễn. Vật liệu composite cũng được áp dụng cho kết cấu thành mỏng với tiết diện khác nhau. Nhiều nghiên cứu được thực hiện để phân tích ứng xử của kết cấu thành mỏng. Vlasov [14] đề xuất lý thuyết dầm thành mỏng cho vật liệu đẳng hướng. Bauld and Tzeng [15] đã phát 2
16. triển lý thuyết của Vlasov để phân tích ổn định dầm composite thành mỏng cĩ tiết diện hở. Song and Librescu [16] khảo sát dao động của dầm composite với tiết diện bất kỳ. Lee and Kim [17, 18] giới thiệu mơ hình tổng quát để xác định tần số dao động và lực ổn định của dầm composite tiết diện chữ I. Cĩ thể thấy rằng, ảnh hưởng của biến dạng cắt của đến ứng xử của dầm thành mỏng chưa được quan tâm nghiên cứu nhiều. Nhiều phương pháp giải đã được phát triển để dự báo ứng xử của dầm composite như phương pháp số, giải tích và nửa giải tích. Bản chất của các phương pháp này là chính xác hoặc gần đúng. Trong các phương pháp số thì phần tử hữu hạn (FEM) được sử dụng nhiều nhất [19-28]. Bên cạnh đĩ, phương pháp sai phân hữu hạn[29, 30], phương pháp Chebyshev [31], phương pháp ma trận độ cứng động học [32] cũng được quan tâm sử dụng. Trong các năm gần đây, phương pháp đẳng hình học [33, 34] đã thu hút nhiều nhà nghiên cứu. Luận án này tập trung vào việc phát triển phương pháp giải tích. Trong các phương pháp giải tích, Navier là đơn giản nhất. Mặc dù, phương pháp này chỉ phù hợp cho dầm đơn giản nhưng nĩ cũng được sử dụng phổ biến do tính đơn giản [35, 36]. Các phương pháp giải tích khác như đạo hàm cầu phương [37, 38], Galerkin [39-41] hoặc tích phân trọng số [42, 43] cũng được sử dụng để phân tích dầm composite. Phương pháp Ritz là tổng quát nhất và cĩ thể áp dụng cho các điều kiện biên khác nhau. Điểm quan trọng của phương pháp là lựa chọn hàm dạng (hàm xấp xỉ) để xấp xỉ trường chuyển vị của bài tốn. Hàm xấp xỉ khơng phù hợp sẽ làm cho lời giải chậm và khơng ổn định. Hiện tại, hàm đa thức và hàm đa thức trực giao được sử dụng phổ biến cho việc phân tích dầm composite. Hàm đa thức thường khơng thoả mãn điều kiện biên nên nhân tử Lagrange hoặc hàm phạt được sử dụng để khử điều kiện biên [44, 45]. Điều này làm tăng kích thước của ma trận độ cứng, khối lượng và chi phí tính tốn. Hàm đa thức trực giao khắc phục được nhược điểm của hàm đa thức khi thoả mãn được các điều kiện biên [46-48]. Tuy vậy, Hàm trực giao chưa được sử dụng cho việc phân 3
17. tích tĩnh bài tốn dầm. Vì vậy, việc nghiên cứu hàm dạng của phương pháp Ritz cần được nghiên cứu thêm. Ở Việt Nam, kết cấu composite cũng được nhiều nhà khoa học quan tâm. Nguyễn Xuân Hùng và Cộng sự [49-52], Nguyễn Thời Trung và Cộng sự [53-55] phân tích ứng xử của tấm composite. Các nghiên cứu này tập trung vào việc phát triển phương pháp số như phần tử hữu hạn, khơng lưới, đẳng hình học và lý thuyết tối ưu kết cấu. Nguyễn Đình Đức và Cộng sự [56-59] phát triển phương pháp giải tích để phân tích tấm, vỏ với những hình dạng và tải trọng khác nhau. Trần Ích Thịnh và Cộng sự [60, 61] thực hiện các nghiên cứu thực nghiệm kết cấu composite. Hồng Văn Tùng và Cộng sự [62, 63] nghiên cứu phản ứng của tấm và vỏ phân lớp chức năng chịu tải trọng cơ nhiệt. Nguyễn Đình Kiên và Cộng sự [64, 65] khảo sát ứng xử của dầm phân lớp chức năng cĩ dạng hình học và tải trọng khác nhau bằng phương pháp phần tử hữu hạn. Cĩ thể thấy rằng các nhà khoa học ở Việt Nam chưa quan tâm nghiên cứu dầm composite, đặc biệt là dầm composite thành mỏng. 1.2.2. Mục tiêu của luận án Nghiên cứu tổng quan chỉ ra rằng phương pháp Ritz rất hiệu quả trong việc phân tích dầm composite với điều kiện biên khác nhau. Tuy nhiên, số lượng nghiên cứu này cịn rất hạn chế. Chính vì vậy, việc phát triển phương pháp Ritz để phân tích dầm composite cĩ ý nghĩa khoa học và thực tiễn. Bên cạnh đĩ, các hiệu ứng Poisson, biến dạng pháp tuyến và kích thước cũng chưa được khảo sát tốt. Trên cơ sở này, nội dung của luận án gồm: - Phân tích dao động tự do, ổn định và tĩnh của dầm composite sử dụng lý thuyết bậc cao. - Phân tích dao động tự do, ổn định và tĩnh của dầm composite sử dụng lý thuyết tựa ba chiều. - Phân tích dao động tự do, ổn định và tĩnh của dầm composite kích thước vi mơ sử dụng lý thuyết hiệu chỉnh ứng suất. 4
18. - Phân tích dao động tự do, ổn định và tĩnh của dầm composite thành mỏng sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất. - Phân tích và đánh giá các hàm xấp xỉ Ritz. 1.3. Bố cục của luận án Luận án này cĩ tám chương. Chương Một trình bày nghiên cứu tổng quan, mục tiêu, nội dung và bố cục của Luận án. Chương Hai phân tích tĩnh, ổn định và dao động của dầm composite dùng lý thuyết bậc cao. Trong chương này, hàm lượng giác mới được đề xuất. Chương Ba mở rộng lý thuyết trong chương Hai. Ảnh hưởng của tải trọng cơ, nhiệt lên tần số dao động và lực ổn định của dầm được khảo sát. Các hàm “Hybrid” mới là sự kết hợp giữa hàm đa thức và hàm mũ được đề xuất. Chương Bốn tập trung vào việc phân tích ảnh hưởng của hiệu ứng Poisson và biến dạng pháp tuyến lên lực ổn định, tần số riêng và chuyển vị của dầm composite. Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao và tựa ba chiều được sử dụng. Lý thuyết hiệu chỉnh ứng suất kết hợp với biến dạng cắt bậc cao được sử dụng trong chương Năm để phân tích dầm composite kích thước vi mơ. Các hàm xấp xỉ dạng mũ được đề xuất trong nghiên cứu này. Ảnh hưởng của hệ số Poisson lên chuyển vị, dao động và ổn định của dầm được khảo sát. Chương Sáu phân tích dầm composite thành mỏng sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất. Tần số, lực ổn định và chuyển vị của dầm tiết diện chữ C và I được giới thiệu. Các hàm xấp xỉ được nghiên cứu ở chương Bảy. Sự hội tụ, chi phí tính tốn và sự ổn định số được khảo sát để làm rõ tính hiệu quả của các hàm xấp xỉ đề xuất. Trong chương Tám, các kết luận chính được rút ra và đề xuất các hướng nghiên cứu mới. Chương 2. PHÂN TÍCH DẦM COMPOSITE DÙNG LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT BẬC CAO 2.1. Giới thiệu Để dự báo chính xác đáp ứng của dầm composite, nhiều lý thuyết và phương pháp giải được đề xuất. Các nghiên cứu tổng quan về các lý thuyết này được tìm thấy trong các tài liệu sau [2, 66-68]. Cĩ thể 5
19. thấy rằng, lý thuyết biến dạng cắt bậc cao được sử dụng ngày càng nhiều. Về phương pháp, phần tử hữu hạn được nhiều nhà khoa học sử dụng nhất [20-27, 69-71]. Đối với phương pháp giải tích, Navier là phương pháp đơn giải nhất và áp dụng cho dầm đơn giản [35, 36, 72, 73]. Với dầm cĩ điều kiện biên bất kỳ, các nhà khoa học đề xuất nhiều phương pháp khác nhau. Phương pháp Ritz được sử dụng trong các nghiên cứu [44, 47, 48, 74]. Khdeir và Reddy [75, 76] phát triển phương pháp khơng gian trạng thái để xác định lực ổn định và tần số dao động của dầm cĩ hướng sợi trực giao. Chen và Cộng sự [77] đề xuất phương pháp tích phân khơng gian để phân tích dao động của dầm. Jun và Cộng sự [32, 78] đề xuất phương pháp ma trận độ cứng động học để phân tích tần số riêng của dầm sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc ba. Nghiên cứu tổng quan cho thấy phương pháp Ritz đơn giản và hiệu quả để phân tích dầm composite với các điều kiện biên khác nhau nhưng chủ đề này chưa được quan tâm nghiên cứu nhiều. Mục tiêu của chương này là phát triển hàm lượng giác mới để phân tích tĩnh, ổn định và dao động dầm composite. 2.2. Mơ hình dầm composite bậc cao Dầm composite tiết diện chữ nhật (bxh) và chiều dài L như hình 2.1 được khảo sát. Nĩ làm từ n lớp vật liệu trực hướng cĩ hướng sợi khác nhau. 6
20. Hình 2.1. Dầm composite 2.2.1. Trường chuyển vị và quan hệ ứng xuất - biến dạng Trong chương này, trường chuyển vị dựa vào lý thuyết biến dạng cắt bậc cao [79, 80]: 3 w0 (,) x t 5z 5 z uxztuxtz(,,)(,)(,) 0 2 uxt 1 (2.1) x 4 3 h w(,,)(,) x z t w0 x t (2.2) Quan hệ ứng suất - biến dạng của dầm composite: ()k ()k x  Q11 0  x  (2.3)   xz  0 Q55  xz  2.2.2. Biến phân 1 Năng lượng biến dạng E :      dV (2.4) E2 V x x xz xz LL1 Cơng ngoại lực  :  qw bdx N() w2 bdx (2.5) W W 0 0 0, x 02 0 1 Động năng  :  z u2 w 2 dV (2.6) K K 2 V Tổng năng lượng :  EWK   (2.7) 7
21. Theo phương pháp Ritz, trường chuyển vị được xấp xỉ: m m m i t i  t i  t uxt0(,)(),(,)(),(,)() j xuewxt 0 j 0  j xweuxt 0 j 1   j xue 1 j (2.8) j 1 j 1 j 1 2 với  là tần số riêng, i 1 đơn vị ảo; u0j , w0j ,u1 j là các giá trị cần xác định;  j ()x , j ()x , và  j ()x là các hàm xấp xỉ được đề xuất (Bảng 2.1). Các hàm xấp xỉ này thoả các điều kiện biên của bài tốn (Bảng 2.2). Bảng 2.1. Các hàm xấp xỉ của dầm BC  j ()x j ()x  j ()x j x j x j x S-S cos sin cos L L L (2j 1) x (2j 1) x (2j 1) x C-F sin 1 cos sin 2L 2L 2L 2 j x 2 j x 2 j x C-C sin sin sin L L L Bảng 2.2. Điều kiện biên động học của bài tốn BC Vị trí Giá trị S-S x=0 w0 0 x=L w0 0 C-F x=0 u0 0 , w0 0 , w0,x 0 ,u1 0 x=L C-C x=0 u0 0 , w0 0 , w0,x 0 ,u1 0 x=L u0 0 , w0 0 , w0,x 0 ,u1 0 Phương trình chủ đạo được thiết lập từ phương trình Lagrange: K 2 M u F (2.9) 8
22. 2.3. Kết quả số 1 Kết quả số được thể hiện chi tiết trong bài báo được cơng bố trên Tạp chí Composite Structures năm 2017. Trong phần này, tác giả giới thiệu một kết quả điển hình. Bảng 2.3 thể hiện chuyển vị tại trung điểm dầm composite (00/900/00) chịu tải trọng phân bố đều. Các kết quả thu được rất gần với kết quả đã cơng bố. Bảng 2.3. Chuyển vị tại trung điểm dầm composite (00/900/00) chịu tải trọng phân bố đều (MAT II.2, E1/E2 = 25). BC Lý thuyết L/h 5 10 50 S-S Luận án 2.412 1.096 0.665 Khdeir và Reddy [81] 2.412 1.096 0.665 Vo và Thai (HOBT) [22] 2.414 1.098 0.666 C-F Luận án 6.813 3.447 2.250 Khdeir và Reddy [81] 6.824 3.455 2.251 Vo và Thai (HOBT) [22] 6.830 3.461 2.257 C-C Luận án 1.536 0.531 0.147 Khdeir và Reddy [81] 1.537 0.532 0.147 2.4. Kết luận Hàm xấp xỉ lượng giác mới được đề xuất phân tích tĩnh, ổn định và dao động của dầm composite sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao. Các kết quả sau được rút ra: - Mơ hình dầm là phù hợp cho việc phân tích tĩnh, ổn định và dao động của dầm composite. - Các hàm lượng giác đề xuất hội tụ rất nhanh đối với bài tốn phân tích độ ổn định. - Phương pháp này đơn giản và hiệu quả. Chương 3. PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG VÀ ỔN ĐỊNH CỦA DẦM COMPOSITE CHỊU TẢI TRỌNG CƠ - NHIỆT 1 Kết quả số tham khảo Tạp chí Composite Structures năm 2017 [123] 9
23. 3.1. Giới thiệu Dầm composite được sử dụng rất phổ biến trong các lĩnh vực như xây dựng, giao thơng, hạt nhân Ứng xử của dầm dưới tác dụng của tải trọng cơ - nhiệt thu hút sự quan tâm của nhiều nhà khoa học. Trong đĩ nhiều phương pháp số và giải tích được sử dụng. Trong phương pháp số, phần tử hữu hạn được sử dụng phổ biến nhất. Mathew và Cộng sự [82] khảo sát ổn định nhiệt của dầm composite dùng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất. Lee [83] giới thiệu ổn định nhiệt của dầm dùng lý thuyết lớp. Murthy và Cộng sự [24], Vo và Thai [22] sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao phân tích ứng xử tĩnh của dầm composite. Vo và Thai [21] cũng áp dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao phân tích ổn định và dao động của dầm chịu tải trọng cơ. Về phương pháp giải tích, Kant và Cộng sự [84] nghiên cứu dao động của dầm bằng lời giải Navier. Emam và Eltaher [85] khảo sát ổn định và sau ổn định của dầm chịu tải trọng thuỷ nhiệt. Khdeir và Reddy ([76], [86]) sử dụng phương pháp khơng gian trạng thái để phân tích ổn định và dao động của dầm hướng sợi trực giao. Phương pháp khơng gian trạng thái cũng được sử dụng bởi Khdeir [87] để phân tích ổn định nhiệt của dầm composite. Ngồi ra, Abramovich [88] dự báo tải trọng ổn định nhiệt của dầm dựa vào lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất và phương pháp giải tích. Dựa vào lời giải Ritz và lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất, Aydogdu tính tần số riêng [74], lực ổn định cơ [48] và lực ổn định nhiệt [89] của dầm composite với các điều kiện biên khác nhau. Wattanasakulpong và Cộng sự [90] sử dụng hàm đa thức để xác định lực ổn định và dao dộng của dầm phân lớp chức năng chịu tải trọng nhiệt. Mantari và Canales [44] cũng sử dụng phương pháp Ritz để xác định ổn định và dao động dầm composite. Asadi và Cộng sự [91] phân tích dao động phi tuyến và ổn định nhiệt của dầm dùng phương pháp Galerkin. Warminska và Cộng sự [92] phân tích dao động của dầm composite dưới tác dụng của tải trọng cơ nhiệt và lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất. Jun và Cộng sự [93] sử dụng phương pháp ma trân độ cứng động học phân tích dao động và ổn định của dầm composite. 10
24. Vosoughi và Cộng sự [94] sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn và lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất để phân tích ổn định và sau ổn định của dầm phụ thuộc vào nhiệt độ. Cĩ thể thấy rằng, phương pháp Ritz khơng được sử dụng để phân tích dầm composite chịu tải trọng cơ nhiệt. Mục tiêu của chương này là phát triển lời giải Ritz phân tích ổn định và dao động của dầm composite chịu tải trọng cơ nhiệt. 3.2. Cơ sở lý thuyết Trong chương này, mơ hình dầm được sử dụng như chương Hai (Hình 2.1). Dầm composite chịu tác dụng của tải trọng nhiệt độ như sau: TTT 0 (3.1) với T0 là nhiệt độ tại mặt dưới của dầm, T là sự biến thiên của nhiệt độ. 3.2.1. Mơ hình dầm sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao Trường chuyển vị và quy luật ứng xử của dầm dựa vào lý thuyết biến dạng cắt bậc cao [79, 80] như chương Hai. Cơng W của lực do tải trọng cơ nhiệt gây ra là: 1LL 1  N0m()() w 2 bdx N 0 t w 2 bdx (3.2) W x0, x x 0, x 20 2 0 0m 0t với N x và N x lần lượt lực dọc do tải trọng cơ và nhiệt gây ra. Khi nhiệt độ tăng lên TT 0 thì lực dọc do tải trọng nhiệt gây ra là: n zk 1 N0t Q Q Q T T dz x 11 x 12 y 16 xy 0 (3.3) k 1 zk Tổng năng lượng :  EWK   (3.4) 3.2.2. Lời giải Ritz m m m i t i  t i  t uxt0(,)(),(,)(),(,)() j xuewxt 0 j 0  j xweuxt 0 j 1   j xue 1 j (3.5) j 1 j 1 j 1 11
25.  j ()x , j ()x và  j ()x là các hàm xấp xỉ. Trong chương này, tác giả đề xuất các hàm xấp xỉ mới (Bảng 3.1). Bảng 3.1. Hàm xấp xỉ và điều kiện biên động học của dầm  ()x ()x  ()x BC Vị trí j j j Giá trị e jx/ L e jx/ L e jx/ L S-S x=0 (L 2 x ) x() L x (L 2 x ) w0 0 x=L w0 0 H-H x=0 x() L x x() L x 1 u0 0 , w0 0 x=L u0 0 , w0 0 u0 0 , w0 0 , C-F x=0 x x2 x w0,x 0 ,u1 0 x=L u 0 , w 0 , 2 0 0 C-S x=0 x x() L x x w0,x 0 ,u1 0 x=L w0 0 u0 0 , w0 0 , C-H x=0 x() L x x2 () L x x w0,x 0 ,u1 0 x=L u0 0 , w0 0 u 0 , w 0 , 2 2 0 0 C-C x=0 x() L x x() L x x() L x w0,x 0 ,u1 0 u0 0 , w0 0 , x=L w0,x 0 ,u1 0 Phương trình chủ đạo được thiết lập từ phương trình Lagrange: K 2 M u 0 (3.6) 12
26. 3.3. Kết quả số2 Các kết quả số được tác giả cơng bố trong bài báo cơng bố trên tạp chí Composite Structures năm 2018. Trong phần này, tác giả chỉ giới thiệu một ví dụ cho người đọc tham khảo. Tần số dao động của dầm composite được thể hiện ở Bảng 3.2. Cĩ thể thấy rằng, kết quả thu được rất gần với kết quả của Jun và Cộng sự (CS) [93]. Bảng 3.2. Tần số dao động (Hz) của dầm composite (00/900/00) và (00/900) (MAT II.3). Hướng sợi T (0 C) Tham khảo BC H-H C-H C-C (00/900/00) 0 Luận án 950.2 1245.3 1552.4 100 913.5 1215.6 1522.4 -100 985.6 1274.3 1571.1 (00/900) 0 Luận án 664.3 783.8 1001.2 Jun và CS [93] 663.4 783.1 999.6 100 Luận án 621.2 743.8 968.4 Jun và CS [93] 621.7 744.5 968.1 -100 Luận án 704.8 821.7 1032.8 Jun và CS [93] 702.5 819.7 1030.0 3.4. Kết luận Các hàm xấp xỉ “Hybrid” được đề xuất để nghiên cứu ổn định và dao động của dầm composite chịu tải trọng cơ-nhiệt sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao. Các kết luận sau đây được rút ra: - Nhiệt độ ảnh hưởng rất đáng kể đến ổn định và dao động của dầm. Nhiệt độ tăng làm cho kết cấu dầm yếu đi và giảm lực ổn định và tần số dao động. - Các hàm dạng đề xuất khơng những hội tụ nhanh mà cịn đơn giản và chính xác để phân tích dao động và ổn định của dầm chịu tải trọng cơ-nhiệt. 2 Kết quả số tham khảo Tạp chí Composite Structures năm 2018 [122] 13
27. Chương 4. ẢNH HƯỞNG CỦA BIẾN DẠNG PHÁP TUYẾN ĐẾN ỨNG XỬ CỦA DẦM COMPOSITE 4.1. Giới thiệu Trong chương Hai và Ba, lý thuyết biến dạng cắt bậc cao được sử dụng để phân tích tĩnh, ổn định và dao động của dầm. Mặc dù, lý thuyết biến dạng cắt bậc cao được sử dụng khá phổ biến [81, 95-98] nhưng nĩ bỏ quả biến dạng pháp tuyến. Để khắc phục nhược điểm này, lý thuyết tựa ba chiều được phát triển [36, 72, 77, 99]. Về phương pháp, nhiều phương pháp số và giải tích được đề xuất để phân tích ứng xử của dầm và một số được để cập ở đây. Zenkour [36] dùng phương pháp Navier phân tích tĩnh dầm composite cĩ hướng sợi trực giao. Aydogdu [47, 48, 74] phát triển lời giải Ritz để phân tích dao động và ổn định của dầm. Mantari và Canales [44, 100] cũng phân tích dao động và ổn định dầm bằng lời giải Ritz. Khdeir và Reddy [76, 86] phát triển phương pháp khơng gian trạng thái để xác định tần số riêng và lực ổn định của dầm. Mặt dù phương pháp Ritz khá hiệu quả khi phân tích dầm cĩ điều kiện biên khác nhau nhưng việc sử dụng phương pháp này cịn khá hạn chế. Hiện nay, cĩ rất ít nghiên cứu sử dụng phương pháp Ritz để phân tích ứng xử dầm cĩ xét đến biến dạng pháp tuyến. Mặt khác, hầu hết các nghiên cứu trước chỉ phân tích dầm composite cĩ hướng sợi trực hướng mà ít quan tâm đến dầm cĩ hướng sợi bất kỳ. Vì vậy, việc nghiên cứu ứng xử của dầm composite cĩ hướng sợi bất kỳ cĩ kể đến ảnh hưởng của biến dạng pháp tuyến là rất cần thiết và cĩ ý nghĩa thực tiễn. Mục tiêu của chương này là đề xuất hàm xấp xỉ mới phân tích ổn định, dao động và tĩnh của dầm composite cĩ hướng sợi bất kỳ dùng lý thuyết tựa ba chiều. 4.2. Cơ sở lý thuyết 4.2.1. Trường chuyển vị, quan hệ ứng suất-biến dạng Xét dầm composite như hình 2.1. Trường chuyển vị theo lý thuyết tựa ba chiều [36]: 14
28. 1 w u(,,)(,)(,) x z t u x t zu x t z2 1 0 1 2 x (4.1) 3 4 w0 1 w2 z 2 u1(,) x t 3h  x 3  x 2 wxzt(,,)(,)(,)(,) wxt0 zwxt 1 zwxt 2 (4.2) Quan hệ ứng suất biến dạng của dầm: ()k ()k  CC11 13 0   x x z  CC13 33 0  z  (4.3) xz 0 0 C  xz  55  4.2.2. Cơng thức biến phân 1 Năng lượng biến dạng E :        dV (4.4) E2 V x x z z xz xz Cơng W do lực nén N0 và tải trọng phân bố đều q tác dụng tại mép dưới của dầm: 1 L h2 h 2 h 4  N w2 w w w 2 w 2 dx W 00, x 0,2, x x 1, x 2, x 20 6 12 80 (4.5) L h h2 q w w w bdx 0 1 2 0 2 4 1 Động năng  :  z u2 w 2 dV (4.6) K K 2 V Tổng năng lượng của cơ hệ:  EWK   (4.7) Trường chuyển vị được xấp xỉ: m m m i t i  t i  t uxt0(,)(),(,)(),(,)()  jx0j , xueuxt 1  jx1j , xuewxt 0  j0j xwe (4.8) j 1 j 1 j 1 m m i t i  t wxt1(,)(),(,)()  j xwewxt 1j 2  j xwe 2j (4.9) j 1 j 1 15
29. Trong chương này, các hàm xấp xỉ được đề xuất ở Bảng 4.1. Bảng 4.1. Các hàm xấp xỉ và điều kiện biên động học của dầm. BC Vị trí j ()x Giá trị S-S x=0 x w0 0 , w1 0 , w2 0 x L x e jL x=L w0 0 , w1 0 , w2 0 u0 0 ,u1 0 , w0 0 , w1 0 , w2 0 , C-F x=0 x 2 jL w0,x 0 , w1,x 0 , w2,x 0 x e x=L u0 0 ,u1 0 , w0 0 , w1 0 , w2 0 , C-C x=0 x w0,x 0 , w1,x 0 , w2,x 0 x2 L x 2 e jL u0 0 ,u1 0 , w0 0 , w1 0 , w2 0 , x=L w0,x 0 , w1,x 0 , w2,x 0 Phương trình chủ đạo được thiết lập từ phương trình Lagrange: K 2 M u F (4.10) 4.3. Kết quả số3 Kết quả số được cơng bố trên Tạp chí International Journal of Structural Stability and Dynamics năm 2018. Trong phần này, tác giả chỉ giới thiệu một ví dụ điển hình. Ứng suất của dầm đơn giản được giới thiệu ở Bảng 4.2 và so sánh với kết quả của các nghiên cứu trước. Cĩ thể thấy rằng, kết quả luận án rất trùng khớp với các kết quả đã cơng bố. Bảng 4.2. Ứng suất của dầm composite (00/900/00) và (00/900) cĩ điều kiện biên S-S chịu tải trọng phân bố đều (MAT II.4). Lý thuyết Tham khảo 00 / 90 0 / 0 0 00 / 90 0 L/h=5 50 L/h=5 50 3 Kết quả số tham khảo Tạp chí International Journal of Structural Stability and Dynamics năm 2018 [166] 16
30. a. Ứng suất dọc trục HOBT Luận án 1.0669 0.8705 0.2361 0.2336 Zenkour [36] 1.0669 0.7805 0.2362 0.2336 Quasi-3D Luận án 1.0732 0.7806 0.2380 0.2336 Zenkour [36] 1.0732 0.7806 0.2276 0.2236 b. Ứng suất cắt HOBT Luận án 0.4057 0.4523 0.9205 0.9878 Zenkour [36] 0.4057 0.4514 0.9211 0.9860 Quasi-3D Luận án 0.4013 0.4521 0.9052 0.9869 Zenkour [36] 0.4013 0.4509 0.9038 0.9814 c. Ứng suất pháp tuyến Quasi-3D Luận án 0.1833 0.1804 0.2966 0.3046 Zenkour [36] 0.1833 0.1804 0.2988 0.2983 4.4. Kết luận Trong chương này, các hàm xấp xỉ dạng “Hybrid” được đề xuất để phân tích tĩnh, ổn định và dao động của dầm composite. Các kết quả số đã chỉ ra rằng: - Ảnh hưởng của biến dạng pháp tuyến là rất đáng kể đối với dầm cao và hướng sợi bất đối xứng. - Ảnh hưởng của hệ số Poisson cũng rất đáng kể đối với các dầm composite cĩ hướng sợi lệch gĩc. Việc bỏ qua ảnh hưởng Poisson chỉ phù hợp với các dầm cĩ hướng sợi trực giao. - Mơ hình giới thiệu trong chương này rất phù hợp để phân tích tĩnh, ổn định và dao động của dầm composite cĩ hướng sợi bất kỳ. Chương 5. PHÂN TÍCH HIỆU ỨNG KÍCH THƯỚC CỦA DẦM COMPOSITE VI MƠ HƯỚNG SỢI BẤT KỲ DÙNG LÝ THUYẾT HIỆU CHỈNH ỨNG SUẤT 5.1. Giới thiệu Trong các chương trước, dầm composite kích thước “macro” được phân tích dựa vào lý thuyết cơ học cổ điển. Tuy nhiên, trong các năm 17
31. gần đây, các dạng kết cấu cĩ kích thước vi mơ thu hút nhiều nhà khoa [101-103]. Các kết quả nghiên cứu này cho thấy rằng lý thuyết cơ học cổ điển chưa mơ tả đúng ứng xử của kết cấu cĩ kích thước vi mơ vì nĩ bỏ qua hiệu ứng kích thước. Nghiên cứu tổng quan về các lý thuyết cơ học phi cổ điển áp dụng cho kết cấu cĩ kích thước vi mơ được thực hiện bởi Thái và Cộng sự [104]. Mơ hình kể đến hiệu ứng kích thước cĩ thể chi làm ba nhĩm: Lý thuyết đàn hồi phi cục bộ, lý thuyết liên tục micro và nhĩm lý thuyết gradient biến dạng. Lý thuyết đàn hồi phi cục bộ được đề xuất bởi Eringen [3, 105], Eringen và Edelen [106] và gần đây được áp dụng trong các nghiên cứu [107-110]. Lý thuyết cơ học liên tục micro được phát triển bởi Eringen [111-113]. Nhĩm lý thuyết gradient biến dạng bao gồm lý thuyết gradient biến dạng [103, 114], hiệu chỉnh gradient biến dạng [101], ứng suất cặp [4-6] và hiệu chỉnh ứng suất cặp (hoặc hiệu chỉnh ứng suất) (MCST) [115]. Trong nhĩm lý thuyết gradient biến dạng, cả biến dạng và sự thay đổi của biến dạng được xem xét trong phương trình năng lượng. Hiệu ứng kích thước được kể đến bằng cách sử dụng thơng số tỷ lệ chiều dài của vật liệu (MLSP). MCST giới thiệu điều kiện cân bằng của cặp mơ men về dạng đối xứng. Vì vậy, MCST chỉ cần một hệ số MLSP thay vì hai (lý thuyết ứng suất cặp) hoặc ba như trong lý thuyết hiệu chỉnh gradient biến dạng. Điều này làm cho lý thuyết MCST được sử dụng phổ biến hơn vì việc xác định các hệ số MLSP rất khĩ khăn. Chen và Cộng sự [12, 116] phát triển mơ hình dầm Timoshenko và Reddy để phân tích tĩnh dầm đơn giản hướng sợi trực giao. Chen và Si [117] sử dụng lý thuyết MCST và tồn cục-địa phương để phân tích dầm Reddy bằng lời giải Navier. Bằng cách sử dụng phương pháp khơng lưới, Roque và Cộng sự [10] phân tích tĩnh dầm Timoshenko cĩ kích thước vi mơ. Mơ hình Zigzag phụ thuộc kích thước được đề xuất bởi Yang và Cộng sự [7] để phân tích tĩnh dầm hướng sợi trực giao. Abadi và Daneshmehr [118] phân tích ổn định của dầm micro bằng mơ hình Euler-Bernoulli và Timoshenko. Mohammadabadi và 18
32. Cộng sự [37] phân tích ảnh hưởng nhiệt độ đến ổn định của dầm micro. Trong nghiên cứu này, phương pháp sai phân hữu hạn được sử dụng. Chen và Li [119] phân tích ứng xử động của dầm Timoshenko cĩ kích thước micro. Mohammad-Abadi và Daneshmehr [8] sử dụng lý thuyết MCST để phân tích dao động của dầm micro cĩ hướng sợi trực giao dùng các mơ hình Euler-Bernoulli, Timoshenko và Reddy. Ghadiri và Cộng sự [120] phân tích ảnh hưởng nhiệt độ đến dao động của dầm micro với tiết diện khác nhau. Cĩ thể thấy rằng các nghiên cứu trước chỉ khảo sát dầm micro cĩ hướng sợi trực giao. Vì vậy, việc nghiên cứu dầm micro cĩ hướng sợi bất kỳ (MGLCB) là rất cần thiết. Ngồi ra, phương pháp Ritz chưa được sử dụng để phân tích dầm micro. Mặc dù, các phương pháp số ngày nay được sử dụng khá phổ biến [10, 21, 50, 107, 108, 121], nhưng phương pháp Ritz vẫn được nhiều nhà khoa học quan tâm [44, 45, 48, 122-126]. Trong phương pháp Ritz, sự chính xác và tính hiệu quả phụ thuộc vào hàm xấp xỉ. Hàm xấp xỉ khơng phù hợp sẽ làm lời giải hội tụ chậm và khơng ổn định số [48]. Các hàm xấp xỉ nên thoả điều kiện biên của bài tốn [1]. Nếu hàm xấp xỉ khơng thoả điều kiện biên thì phương pháp nhân tử Lagrange hoặc hàm phạt được sử dụng [44, 100, 127]. Tuy nhiên, cách tiếp cận này làm tăng chi phí tính tốn. Vì vậy, mục tiêu của chương này là đề xuất hàm xấp xỉ mới để phân tích tĩnh, ổn định và dao động của dầm micro cĩ hướng sợi bất kỳ. 5.2. Cơ sở lý thuyết 5.2.1. Động học Trường chuyển vị dựa vào lý thuyết HOBT ([79, 80]): 3 w0 (,) x t 5z 5 z uxztuxtz(,,)(,)(,) 0 2 uxt 1 (5.1) x 4 3 h w(,,)(,) x z t w0 x t (5.2) Trường biến dạng và gĩc xoay [115]: x u0, x zw 0, xx fu 1, x,  xz f , z u 1 (5.3) 19
33. 1 1 xy f, z u 1, x 2 w 0, xx ,  zy f , zz u 1 (5.4) 2 2 5.2.2. Quan hệ ứng suất biến dạng Quan hệ ứng suất-biến dạng [99]: ()k ()k * x C11 0  x    (5.5)  *  xz  0 C55 xz  Quan hệ ứng suất cặp và biến dạng cong [37]: k k m *  xy C44 0 xy    (5.6) * mzy  zy  0 C66  5.2.3. Cơng thức biến phân Năng lượng biến dạng E : 1 E  x  x  xz  xz m xy  xy m zy  zy dV (5.7) 2 V 1 LL Cơng ngoại lực  :  N() w2 bdx qw bdx (5.8) W W 0 0, x 0 2 0 0 1 Động năng của hệ  :  z u2 v  2 w 2 dV (5.9) K K 2 V Tổng năng lượng của cơ hệ:  EWK   (5.10) 5.2.4. Phương pháp Ritz m m m i t i  t i  t uxt0(,)(),(,)(),(,)()  j , x xuewxt 0 j 0  j xweuxt 0 j 1  j , x xue 1 j (5.11) j 1 j 1 j 1 Các hàm xấp xỉ mới được thể hiện ở bảng 5.1 Phương trình chủ đạo được thiết lập từ phương trình Lagrange: K 2 M u F (5.12) Bảng 5.1. Các hàm xấp xỉ và điều kiện biên động học. BC j ()x x=0 x=L 20
34. jx x j 1 S-S 1 eL 1 e L w 0 w 0 0 0 jx jx u0 0, w0 0 , C-F 1 e L L u1 0 , w0,x 0 2 jx 2 x u 0, w 0 , u 0, w 0 , j 1 0 0 0 0 C-C 1 eL 1 e L u 0 , w 0 u 0 , w 0 1 0,x 1 0,x 5.3. Kết quả số4 Các kết quả số được cơng bố trên Tạp chí Composite Structures năm 2018. Trong phần này, tác giả chỉ đưa ra một ví dụ cho người đọc tham khảo. Chuyển vị tại trung điểm của dầm (MAT II.5) được thể hiện ở Bảng 5.2. Kết quả cho thấy rằng chuyển vị giảm khi b tăng. Trong trường hợp b 0, kết quả luận án rất gần với kết quả của Vo và Cộng sự [19] Bảng 5.2. Chuyển vị của dầm đơn giản (MAT II.5). L/ h Hướng  Vo và CS Luận án sợi [19] b 0 b h / 2 b h 5 00 / / 0 0 00 1.7930 1.8021 1.6523 1.3240 300 2.0140 2.0233 1.8596 1.4959 600 2.3030 2.3122 2.1303 1.7197 00 / 00 1.7930 1.8021 1.6523 1.3240 300 3.6634 3.6836 3.0870 2.1039 600 4.6135 4.6511 3.9759 2.7980 50 00 / / 0 0 00 0.6370 0.6370 0.6008 0.5135 300 0.6608 0.6609 0.6279 0.5462 600 0.6650 0.6650 0.6380 0.5687 4 Kết quả số tham khảo Tạp chí Composite Structures năm 2018 [167] 21
35. 00 / 00 0.6370 0.6370 0.6008 0.5135 300 2.4406 2.4458 2.0759 1.4283 600 3.2540 3.2727 2.8204 1.9940 5.4. Kết luận Hiệu ứng kích thước được kể đến trong phân tích ứng xử tĩnh, ổn định và dao động của dầm micro cĩ hướng sợi bất kỳ. Đây là lần đầu tiên hiệu ứng Poisson được kể đến khi phân tích dầm cĩ kích thước micro. Các hàm xấp xỉ mới được đề xuất. Các kết quả cho thầy rằng - Hiệu ứng kích thước ảnh hưởng rất đáng kể đến ứng xử tĩnh, ổn định và dao động của dầm micro. - Mơ hình và quy luật ứng xử của dầm sử dụng trong chương này là phù hợp với dầm micro. - Các hàm xấp xỉ mới là đơn giản và hiệu quả để mơ tả ứng xử dầm. Chương 6. PHÂN TÍCH DẦM COMPOSITE THÀNH MỎNG SỬ DỤNG LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT BẬC NHẤT 6.1. Giới thiệu Hiện nay, vật liệu composite và phân lớp chức năng được sử dụng trong nhiều ngành cơng nghiệp. Bên cạnh việc áp dụng phổ biến, các vật liệu này cũng thu hút sự quan tâm của nhiều nhà khoa học [66, 128, 129], trong đĩ dạng kết cấu composite và phân lớp chức năng thành mỏng được quan tâm khá nhiều [130-137]. Lý thuyết dầm thành mỏng vât liệu đồng nhất được đề xuất bởi Vlasov [138] và Gjelsvik [139]. Bauld và Lih-Shyng [15] phát triển cho dầm composite thành mỏng. Pandey và Cộng sự [140] dùng phương pháp Galerkin để phân tích ổn định dầm chữ I. Lee và Kim [17, 18] phân tích ổn định và dao động của dầm chữ I bằng phần tử hữu hạn và lý thuyết cổ điển. Phần tử hữu hạn cũng được Rajasekaran và Nalinaa [141] sử dụng để khảo sát tĩnh, ổn định và dao động của dầm thành mỏng tiết diện bất kỳ. Maddur và Chaturvedi [142, 143] giới thiệu lý thuyết bậc nhất để phân tích dao động của dầm thành mỏng tiết diện hở. Qin và Librescu [144] 22
36. sử dụng phương pháp Galerkin để khảo sát dao động và chuyển vị của dầm thành mỏng bậc nhất. Lee [145] phân tích tĩnh dầm chữ I chịu tải trọng phân bố đều. Machado và Cortinez [146] giới thiệu ổn định dầm thành mỏng tiết diện kín và hở dùng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất. Vo và Lee [147] mở rộng nghiên cứu [145] để phân tích dao động và ổn định dầm composite tiết diện hở. Phương pháp ma trận độ cứng động học [148-151] được sử dụng để phân tích dao động và ổn định dầm thành mỏng. Silvestre và Camotim [152] dùng lý thuyết biến dạng cắt bật nhất phân tích ổn định của cột chữ C. Prokic và Cộng sự [153] đề xuất phương pháp giải tích phân tích dao động dầm đơn giản. Dựa vào cơng thức Carrera (CUF), Carrera và Cộng sự [154-158] phân tích tĩnh, ổn định dầm composite. Sheikh và Cộng sự [159] phân tích dao động của dầm thành mỏng dùng lý thuyết bậc nhất. Li và Cộng sự [160] khảo sát ảnh hưởng thuỷ nhiệt đến dao động của dầm thành mỏng dùng phương pháp Galerkin. Gần đây, dầm thành mỏng phân lớp chưc năng được nhiều nhà khoa học quan tâm. Nguyen và Cộng sự [161, 162] phân tích dao động và ổn định của dầm bằng phương pháp phân tử hữu hạn. Lanc và Cộng sự [163] phân tích ổn định phi tuyến hình học của dầm bằng lý thuyết Euler-Bernoulli- Vlasov. Kim và Lee [164, 165] khảo sát ảnh hưởng của biến dạng cắt lên dao động và ổn định của của dầm thành mỏng phân lớp chức năng. Cĩ thể thấy rằng ảnh hưởng của biến dạng cắt đến dao động, ổn định và chuyển vị của dầm thành mỏng chưa được nhiều nhà khoa học quan tâm. Mặt khác, phương pháp Ritz rất hiệu quả với các điều kiện biên khác nhau [44, 47, 48, 123, 166, 167] nhưng nĩ chưa được sử dụng để phân tích dầm thành mỏng. Mục tiêu của chương này là phát triển phương pháp Ritz phân tích tĩnh, ổn định và dao động của dầm thành mỏng dùng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất. 6.2. Cơ sở lý thuyết 6.2.1. Trường chuyển vị Trường chuyển vị (u,, v w ) được xác định ([145]): 23
37. vsxtVxt ,, ,sin s sWxt ,cos  s s  xtqs , (6.1) wsxtVxt ,, ,cos s sWxt ,sin  s s  xtrs , (6.2) usxtUxt ,,,,,, z xtys  y xtzs  xt  s (6.3) với UV, và W là chuyển vị theo phương x , y và z của điểm P ;  là gĩc xoay của tiết diện quanh trục cực; y,  z và  là các gĩc xoay của mặt cắt ngang quanh các trục y, z và  : 0 0 0 z  yx V, x , y  zx W, x ,    ,x (6.4) với  là hàm quạt: s  s r s ds (6.5) s0 Chuyển vị tại điểm bất kỳ ( u,, v w ) trên tiết diện thành mỏng: v n,,,,, s x t v s x t (6.6) wnsxt ,,,,,,, wsxt n s sxt (6.7) unsxt ,,,,,,, usxt n x sxt (6.8) 6.2.2. Quan hệ ứng suất biến dạng 6.2.2.1. Dầm thành mỏng composite ()k   ()k   x QQ11 16 0 x sx  QQ16 66 0  sx  (6.9) 0 0 Q* nx  55  nx  6.2.2.2. Dầm thành mỏng phân lớp chức năng  *   x Q11 0 0 x * sx  0Q66 0  sx  (6.10) 0 0 Q* nx  55  nx  6.2.3. Nguyên lý biến phân 24
38. 1 s Năng lượng biến dạng E :E  x  x  sx  sx k  nx  nx d  (6.11) 2  với k s và  lần lượt là hệ số biến dạng cắt và thể tích của dầm. Cơng của ngoại lực W : 2 2 1 N0  v w d  qwd  (6.12) W  ,, x x 2 A  1 2 2 2 Động năng của dầm K : K n u v  w  d  (6.13) 2  Tổng năng lượng của cơ hệ:  EWK   (6.14) 6.2.4. Phương pháp Ritz m m m ' i t i  t i  t Uxt(,)(),(,)(),(,)()  j xUeVxt j  j xVeWxt j  j xWe j (6.15) j 1 j 1 j 1 m m m i t'' i  t i  t (,)(),(,)(),(,)()xt  j xe  j  z xt  j xe  zj  y xt  j xe  yj (6.16) j 1 j 1 j 1 m ' i t (,)()x t  j x   j e (6.17) j 1 j z là hàm xấp xỉ (Hình 6.1). Bảng 6.1. Các hàm xấp xỉ và điều kiện biên động học. j ()x BC jx x=0 x=L e L x x S-S 1 VW  0 VW  0 LL VW  0 2 x VW  0 C-F ,,,x x x L U z  y  0 25
39. VW  0 VW  0 2 2 x x VW  0 VW  0 C-C 1 ,,,x x x ,,,x x x LL U z  y  0 U z  y  0 Phương trình chủ đạo được thiết lập từ phương trình Lagrange: K 2 M u F (6.18) 6.3. Kết quả số5 Các kết quả số được cơng bố trên Tạp chí Composite Part B vào năm 2019. Trong phần này, tác giả sẽ giới thiệu một ví dụ cho người đọc tham khảo. Bảng 6.2 thể hiện tần số (Hz) của dầm. Cĩ thể thấy rằng, kết quả luận án rất trùng khớp với kết quả đã cơng bố. Bảng 6.2. Tần số (Hz) của dầm thành mỏng. BC Tham khảo Hướng sợi 0 60 / 90 /  16 60 4s 90 4s S-S Luận án (BDC) 24.169 14.660 13.964 Luận án (Khơng kể BDC) 24.198 14.668 13.972 Vo và Lee [147] (BDC) 24.150 14.627 13.937 Sheikh và CS [159] (BDC) 24.160 14.660 13.960 Kim và CS [149] (Khơng kể 24.194 14.666 13.970 BDC) C-F Luận án (BDC) 26.479 16.063 15.299 Luận án (Khơng kể BDC) 26.514 16.072 15.309 Kim và Lee [135] (BDC) 26.460 16.060 15.300 Kim và Lee [135] (Khơng kể 26.510 16.070 15.310 BDC) 6.4. Kết luận 5 Kết quả số tham khảo Tạp chí Composite Part B năm 2019 [168] 26
40. Phương pháp Ritz được phát triển để phân tích dầm thành mỏng. Lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất được sử dụng. Các kết luận sau được rút ra: - Ảnh hưởng của biến dạng cắt rất đáng kể đặc biệt là các dầm cĩ tỷ lệ chiều dài/chiều cao nhỏ. - Biến dạng cắt ảnh hưởng lớn nhất đối với dầm cĩ điều kiện biên hai đầu ngàm. - Ảnh hưởng của hướng sợi là rất đáng kể đến ổn định, dao động và chuyển vị của dầm. - Hàm dạng đề xuất là đơn giản và phù hợp phân tích dầm thành mỏng. Chương 7. NGHIÊN CỨU ỔN ĐỊNH, ĐỘ CHÍNH XÁC VÀ TỐC ĐỘ HỘI TỤ CỦA PHƯƠNG PHÁP RITZ 7.1. Giới thiệu Trong các chương trước, tác giả đã đề xuất các hàm xấp xỉ mới để phân tích dầm composite. Cĩ thể thấy rằng các hàm đề xuất rất đơn giản và hiệu quả. Trong phương pháp Ritz, tốc độ hội tụ, độ chính xác và ổn định số phụ thuộc vào hàm xấp xỉ. Trong chương này, tác giả sẽ đánh giá và phân tích các hàm này: hàm lượng giác (TR) [123], hàm “Hybrid” (H1) [166], hàm “Hybrid” (H2) [168] và hàm mũ [167] cho các điều kiện biên tựa đơn-tựa đơn và ngàm-ngàm. Hàm trực giao (OP) cũng được sử dụng để so sánh. 7.2. Kết luận - Về chi phí tính tốn, hàm H1 được đề xuất cho việc phân tích tĩnh, ổn định và dao động dầm composite. Hàm H2 và EX được đề xuất cho phân tích tĩnh và ổn định và hạn chế sử dụng cho phân tích dao động. Hàm OP cũng cĩ thể sử dụng cho phân tích dao động. Hàm TR hạn chế sử dụng với dầm cĩ điều kiện biên là ngàm-ngàm. - Về tốc độ hội tụ, hàm TR được khuyến khích sử dụng cho phân tích ổn định. Hàm EX hội tụ tốt hơn các hàm cịn lại. OP hội tụ khá chậm. - Tất cả các hàm đều ổn định số. Hàm TR ổn định số nhất. 27
41. - Đánh giá cả ba tiêu chí ổn định số, tốc độ hội tụ và chi phí tính tốn, hàm H1 được đề nghị áp dụng cho cả ba bài tốn ổn định, dao động và tĩnh. Hàm TR phù hợp cho phân tích ổn định và dao động. Hàm EX nên hạn chế sử dụng khi phân tích dầm ở các tần số cao. Chương 8. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 8.1. Kết luận Luận án đề xuất các hàm xấp xỉ mới phân tích tĩnh, ổn định và dao động dầm composite với nhiều dạng tiết diện khác nhau. Lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất, bậc cao, tựa ba chiều và hiệu chỉnh ứng suất được sử dụng để phân tích các dầm cĩ kích thước macro và micro. Phương trình chủ đạo được thiết lập dựa vào nguyên lý Lagrange. Hiệu ứng Poisson được xét đến trong quy luật ựng xử. Sự hội tụ và độ chính xác của kết quả số đã chứng minh tính hiệu quả của lời giải. Các kết quả số được giới thiệu để khảo sát các yếu tố ảnh hưởng đến chuyển vị, tần số và lực ổn định của dầm. Theo các kết quả thu được, luận án đề xuất các kết luận sau đây: - Các hàm dạng đề xuất là đơn giản và hiệu quả để phân tích tĩnh, ổn định và dao động của dầm composite với tiết diện khác nhau. - Các yếu tố như tỷ số chiều dài/chiều cao, hướng sợi, tính dị hướng của vật liệu ảnh hưởng rất lớn đến chuyển vị, tần số và lực ổn định của dầm. - Hệ số Poisson ảnh hưởng rất lớn đến ứng xử của dầm, đặc biệt là các dầm cĩ hướng sợi lệch gĩc. - Ảnh hưởng của biến dạng cắt rất đáng kể đối với các dầm cĩ tỷ số chiều dài/chiều cao thấp và các tần số cao của dầm. 8.2. Kiến nghị Luận án đề xuất các hướng nghiên cứu trong tương lai: - Các hàm xấp xỉ cĩ thể sử dụng để phân tích tấm composite. - Kết hợp phương pháp Ritz với nhân tử Lagrange, hàm phạt hoặc phần tử hữu hạn để tìm nghiệm của lời giải ba chiều hoặc giải quyết các bài tốn cĩ dạng hình học hoặc điều kiện biên phức tạp. 28
42. - Phát triển phương pháp Ritz cho các dầm cong. - Phân tích phi tuyến hình học dầm composite cĩ tiết diện khác nhau. Tài liệu tham khảo 1. J.N. Reddy, Mechanics of laminated composite plates and shells: theory and analysis (CRC press, 2004). 2. Y. Ghugal and R. Shimpi, A review of refined shear deformation theories for isotropic and anisotropic laminated beams, Journal of reinforced plastics and composites. 20(3) (2001) 255-272. 3. A.C. Eringen, Nonlocal polar elastic continua, International journal of engineering science. 10(1) (1972) 1-16. 4. W. Koiter, Couple-stresses in the theory of elasticity, I & II, (1969). 5. R.A. Toupin, Elastic materials with couple-stresses, Archive for Rational Mechanics and Analysis. 11(1) (1962) 385-414. 6. R. Mindlin and H. Tiersten, Effects of couple-stresses in linear elasticity, Archive for Rational Mechanics and analysis. 11(1) (1962) 415-448. 7. W. Yang, D. He, and W. Chen, A size-dependent zigzag model for composite laminated micro beams based on a modified couple stress theory, Composite Structures (2017). 8. M. Mohammad-Abadi and A. Daneshmehr, Modified couple stress theory applied to dynamic analysis of composite laminated beams by considering different beam theories, International Journal of Engineering Science. 87 (2015) 83- 102. 9. M. Mohammad-Abadi and A. Daneshmehr, Size dependent buckling analysis of microbeams based on modified couple stress theory with high order theories and general boundary conditions, International Journal of Engineering Science. 74 (2014) 1-14. 10. C. Roque, D. Fidalgo, A. Ferreira, and J. Reddy, A study of a microstructure-dependent composite laminated Timoshenko beam using a modified couple stress theory and a meshless method, Composite Structures. 96 (2013) 532-537. 29
43. 11. W. Chen, M. Xu, and L. Li, A model of composite laminated Reddy plate based on new modified couple stress theory, Composite Structures. 94(7) (2012) 2143-2156. 12. W. Chen, L. Li, and M. Xu, A modified couple stress model for bending analysis of composite laminated beams with first order shear deformation, Composite Structures. 93(11) (2011) 2723-2732. 13. H. Ma, X.-L. Gao, and J. Reddy, A microstructure-dependent Timoshenko beam model based on a modified couple stress theory, Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 56(12) (2008) 3379-3391. 14. V.Z. Vlasov, Thin-walled elastic beams (Israel Program for Scientific Translations, Jerusalem, 1961). 15. N.R. Bauld and T. Lih-Shyng, A Vlasov theory for fiber- reinforced beams with thin-walled open cross sections, International Journal of Solids and Structures. 20(3) (1984) 277-297. 16. O. Song and L. Librescu, Free Vibration Of Anisotropic Composite Thin-Walled Beams Of Closed Cross-Section Contour, Journal of Sound and Vibration. 167(1) (1993) 129- 147. 17. J. Lee and S.-E. Kim, Free vibration of thin-walled composite beams with I-shaped cross-sections, Composite structures. 55(2) (2002) 205-215. 18. J. Lee and S.-E. Kim, Flexural–torsional buckling of thin- walled I-section composites, Computers & Structures. 79(10) (2001) 987-995. 19. T.P. Vo, H.-T. Thai, T.-K. Nguyen, D. Lanc, and A. Karamanli, Flexural analysis of laminated composite and sandwich beams using a four-unknown shear and normal deformation theory, Composite Structures (2017). 20. J. Mantari and F. Canales, Finite element formulation of laminated beams with capability to model the thickness expansion, Composites Part B: Engineering. 101 (2016) 107- 115. 30
44. 21. T.P. Vo and H.-T. Thai, Vibration and buckling of composite beams using refined shear deformation theory, International Journal of Mechanical Sciences. 62(1) (2012) 67-76. 22. T.P. Vo and H.-T. Thai, Static behavior of composite beams using various refined shear deformation theories, Composite Structures. 94(8) (2012) 2513-2522. 23. P. Vidal and O. Polit, A family of sinus finite elements for the analysis of rectangular laminated beams, Composite Structures. 84(1) (2008) 56-72. 24. M. Murthy, D.R. Mahapatra, K. Badarinarayana, and S. Gopalakrishnan, A refined higher order finite element for asymmetric composite beams, Composite Structures. 67(1) (2005) 27-35. 25. G. Shi and K. Lam, Finite element vibration analysis of composite beams based on higher-order beam theory, Journal of Sound and Vibration. 219(4) (1999) 707-721. 26. S. Marur and T. Kant, Free vibration analysis of fiber reinforced composite beams using higher order theories and finite element modelling, Journal of Sound and Vibration. 194(3) (1996) 337-351. 27. K. Chandrashekhara and K.M. Bangera, Free vibration of composite beams using a refined shear flexible beam element, Computers & structures. 43(4) (1992) 719-727. 28. M. Filippi and E. Carrera, Bending and vibrations analyses of laminated beams by using a zig-zag-layer-wise theory, Composites Part B: Engineering. 98 (2016) 269-280. 29. M. Shokrieh and A. Karamnejad, Dynamic response of strain rate dependent Glass/Epoxy composite beams using finite difference method, Int Scholarly Sci Res Innovation. 5(2) (2011) 63-69. 30. K. Numayr, M. Haddad, and A. Ayoub, Investigation of free vibrations of composite beams by using the finite-difference method, Mechanics of Composite Materials. 42(3) (2006) 231- 242. 31. M. Filippi, A. Pagani, M. Petrolo, G. Colonna, and E. Carrera, 31
45. Static and free vibration analysis of laminated beams by refined theory based on Chebyshev polynomials, Composite Structures. 132 (2015) 1248-1259. 32. L. Jun, L. Xiaobin, and H. Hongxing, Free vibration analysis of third-order shear deformable composite beams using dynamic stiffness method, Archive of Applied Mechanics. 79(12) (2009) 1083-1098. 33. X. Wang, X. Zhu, and P. Hu, Isogeometric finite element method for buckling analysis of generally laminated composite beams with different boundary conditions, International Journal of Mechanical Sciences. 104 (2015) 190-199. 34. M. Lezgy-Nazargah, P. Vidal, and O. Polit, NURBS-based isogeometric analysis of laminated composite beams using refined sinus model, European Journal of Mechanics-A/Solids. 53 (2015) 34-47. 35. J. Mantari and F. Canales, A unified quasi-3D HSDT for the bending analysis of laminated beams, Aerospace Science and Technology. 54 (2016) 267-275. 36. A.M. Zenkour, Transverse shear and normal deformation theory for bending analysis of laminated and sandwich elastic beams, Mechanics of Composite Materials and Structures. 6(3) (1999) 267-283. 37. M. Mohammadabadi, A. Daneshmehr, and M. Homayounfard, Size-dependent thermal buckling analysis of micro composite laminated beams using modified couple stress theory, International Journal of Engineering Science. 92 (2015) 47- 62. 38. C. Jin and X. Wang, Accurate free vibration analysis of Euler functionally graded beams by the weak form quadrature element method, Composite Structures. 125 (2015) 41-50. 39. S.R. Sahoo, Active Control of Geometrically Nonlinear Vibrations of Laminated Composite Beams Using Piezoelectric Composites by Element-Free Galerkin Method, International Journal for Computational Methods in 32
46. Engineering Science and Mechanics (2019) 1-9. 40. M. Ahmadian, R. Jafari-Talookolaei, and E. Esmailzadeh, Dynamics of a laminated composite beam on Pasternak- viscoelastic foundation subjected to a moving oscillator, Journal of Vibration and Control. 14(6) (2008) 807-830. 41. K. Liew, H. Lim, M. Tan, and X. He, Analysis of laminated composite beams and plates with piezoelectric patches using the element-free Galerkin method, Computational Mechanics. 29(6) (2002) 486-497. 42. Ư. Ưzdemir, Application of the differential transform method to the free vibration analysis of functionally graded Timoshenko beams, Journal of Theoretical and Applied Mechanics. 54(4) (2016) 1205 1217. 43. A. Arikoglu and I. Ozkol, Vibration analysis of composite sandwich beams with viscoelastic core by using differential transform method, Composite Structures. 92(12) (2010) 3031- 3039. 44. J. Mantari and F. Canales, Free vibration and buckling of laminated beams via hybrid Ritz solution for various penalized boundary conditions, Composite Structures. 152 (2016) 306- 315. 45. M. Şimşek, Static analysis of a functionally graded beam under a uniformly distributed load by Ritz method, Int J Eng Appl Sci. 1(3) (2009) 1-11. 46. K. Pradhan and S. Chakraverty, Free vibration of Euler and Timoshenko functionally graded beams by Rayleigh–Ritz method, Composites Part B: Engineering. 51 (2013) 175-184. 47. M. Aydogdu, Free vibration analysis of angle-ply laminated beams with general boundary conditions, Journal of reinforced plastics and composites. 25(15) (2006) 1571-1583. 48. M. Aydogdu, Buckling analysis of cross-ply laminated beams with general boundary conditions by Ritz method, Composites Science and Technology. 66(10) (2006) 1248-1255. 49. C.H. Thai, A.J.M. Ferreira, and H. Nguyen-Xuan, Isogeometric analysis of size-dependent isotropic and 33
47. sandwich functionally graded microplates based on modified strain gradient elasticity theory, Composite Structures. 192 (2018) 274-288. 50. T.N. Nguyen, T.D. Ngo, and H. Nguyen-Xuan, A novel three- variable shear deformation plate formulation: Theory and Isogeometric implementation, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 326 (2017) 376-401. 51. P. Phung-Van, A.J.M. Ferreira, H. Nguyen-Xuan, and M. Abdel Wahab, An isogeometric approach for size-dependent geometrically nonlinear transient analysis of functionally graded nanoplates, Composites Part B: Engineering. 118 (2017) 125-134. 52. T.N. Nguyen, C.H. Thai, and H. Nguyen-Xuan, On the general framework of high order shear deformation theories for laminated composite plate structures: A novel unified approach, International Journal of Mechanical Sciences. 110 (2016) 242-255. 53. G.R. Liu, K.Y. Dai, and T.T. Nguyen, A Smoothed Finite Element Method for Mechanics Problems, Computational Mechanics. 39(6) (2007) 859-877. 54. T. Nguyen-Thoi, T. Bui-Xuan, P. Phung-Van, H. Nguyen-Xuan, and P. Ngo-Thanh, Static, free vibration and buckling analyses of stiffened plates by CS-FEM-DSG3 using triangular elements, Computers & Structures. 125 (2013) 100-113. 55. T. Nguyen-Thoi, P. Phung-Van, S. Nguyen-Hoang, and Q. Lieu-Xuan, A coupled alpha-FEM for dynamic analyses of 2D fluid–solid interaction problems, Journal of Computational and Applied Mathematics. 271 (2014) 130-149. 56. N.D. Duc, K. Seung-Eock, and D.Q. Chan, Thermal buckling analysis of FGM sandwich truncated conical shells reinforced by FGM stiffeners resting on elastic foundations using FSDT, Journal of Thermal Stresses. 41(3) (2018) 331-365. 57. N.D. Duc, K. Seung-Eock, T.Q. Quan, D.D. Long, and V.M. Anh, Nonlinear dynamic response and vibration of nanocomposite multilayer organic solar cell, Composite 34
48. Structures. 184 (2018) 1137-1144. 58. N.D. Duc, K. Seung-Eock, N.D. Tuan, P. Tran, and N.D. Khoa, New approach to study nonlinear dynamic response and vibration of sandwich composite cylindrical panels with auxetic honeycomb core layer, Aerospace Science and Technology. 70 (2017) 396-404. 59. N.D. Duc and H.V. Tung, Mechanical and thermal postbuckling of higher order shear deformable functionally graded plates on elastic foundations, Composite Structures. 93(11) (2011) 2874-2881. 60. T.I. Thinh and L.K. Ngoc, Static behavior and vibration control of piezoelectric cantilever composite plates and comparison with experiments, Computational Materials Science. 49(4, Supplement) (2010) S276-S280. 61. T.I. Thinh and T.H. Quoc, Finite element modeling and experimental study on bending and vibration of laminated stiffened glass fiber/polyester composite plates, Computational Materials Science. 49(4, Supplement) (2010) S383-S389. 62. H.V. Tung, Thermal and thermomechanical postbuckling of FGM sandwich plates resting on elastic foundations with tangential edge constraints and temperature dependent properties, Composite Structures. 131 (2015) 1028-1039. 63. H. Van Tung, Nonlinear axisymmetric response of FGM shallow spherical shells with tangential edge constraints and resting on elastic foundations, Composite Structures. 149 (2016) 231-238. 64. D.K. Nguyen, Large displacement behaviour of tapered cantilever Euler–Bernoulli beams made of functionally graded material, Applied Mathematics and Computation. 237 (2014) 340-355. 65. D.K. Nguyen, Large displacement response of tapered cantilever beams made of axially functionally graded material, Composites Part B: Engineering. 55 (2013) 298-305. 66. A.S. Sayyad and Y.M. Ghugal, Bending, buckling and free 35
49. vibration of laminated composite and sandwich beams: A critical review of literature, Composite Structures. 171 (2017) 486-504. 67. R. Aguiar, F. Moleiro, and C.M. Soares, Assessment of mixed and displacement-based models for static analysis of composite beams of different cross-sections, Composite Structures. 94(2) (2012) 601-616. 68. W. Zhen and C. Wanji, An assessment of several displacement-based theories for the vibration and stability analysis of laminated composite and sandwich beams, Composite Structures. 84(4) (2008) 337-349. 69. P. Subramanian, Dynamic analysis of laminated composite beams using higher order theories and finite elements, Composite Structures. 73(3) (2006) 342-353. 70. M. Karama, B.A. Harb, S. Mistou, and S. Caperaa, Bending, buckling and free vibration of laminated composite with a transverse shear stress continuity model, Composites Part B: Engineering. 29(3) (1998) 223-234. 71. F.-G. Yuan and R.E. Miller, A higher order finite element for laminated beams, Composite structures. 14(2) (1990) 125-150. 72. H. Matsunaga, Vibration and buckling of multilayered composite beams according to higher order deformation theories, Journal of Sound and Vibration. 246(1) (2001) 47-62. 73. T. Kant, S. Marur, and G. Rao, Analytical solution to the dynamic analysis of laminated beams using higher order refined theory, Composite Structures. 40(1) (1997) 1-9. 74. M. Aydogdu, Vibration analysis of cross-ply laminated beams with general boundary conditions by Ritz method, International Journal of Mechanical Sciences. 47(11) (2005) 1740-1755. 75. A. Khdeir and J. Reddy, Buckling of cross-ply laminated beams with arbitrary boundary conditions, Composite Structures. 1(37) (1997) 1-3. 76. A. Khdeir and J. Reddy, Free vibration of cross-ply laminated beams with arbitrary boundary conditions, International 36
50. Journal of Engineering Science. 32(12) (1994) 1971-1980. 77. W. Chen, C. Lv, and Z. Bian, Free vibration analysis of generally laminated beams via state-space-based differential quadrature, Composite Structures. 63(3) (2004) 417-425. 78. L. Jun and H. Hongxing, Free vibration analyses of axially loaded laminated composite beams based on higher-order shear deformation theory, Meccanica. 46(6) (2011) 1299-1317. 79. E. Reissner, On transverse bending of plates, including the effect of transverse shear deformation, International Journal of Solids and Structures. 11(5) (1975) 569-573. 80. V. Panc, Theories of elastic plates (Springer Science & Business Media, 1975). 81. A. Khdeir and J. Reddy, An exact solution for the bending of thin and thick cross-ply laminated beams, Composite Structures. 37(2) (1997) 195-203. 82. T.C. Mathew, G. Singh, and G.V. Rao, Thermal buckling of cross-ply composite laminates, Computers & structures. 42(2) (1992) 281-287. 83. J. Lee, Thermally induced buckling of laminated composites by a layerwise theory, Computers & structures. 65(6) (1997) 917-922. 84. T. Kant, S.R. Marur, and G.S. Rao, Analytical solution to the dynamic analysis of laminated beams using higher order refined theory, Composite Structures. 40(1) (1997) 1-9. 85. S. Emam and M. Eltaher, Buckling and postbuckling of composite beams in hygrothermal environments, Composite Structures. 152 (2016) 665-675. 86. A. Khdeir and J. Redd, Buckling of cross-ply laminated beams with arbitrary boundary conditions, Composite Structures. 37(1) (1997) 1-3. 87. A. Khdeir, Thermal buckling of cross-ply laminated composite beams, Acta mechanica. 149(1) (2001) 201-213. 88. H. Abramovich, Thermal buckling of cross-ply composite laminates using a first-order shear deformation theory, Composite structures. 28(2) (1994) 201-213. 37
51. 89. M. Aydogdu, Thermal buckling analysis of cross-ply laminated composite beams with general boundary conditions, Composites Science and Technology. 67(6) (2007) 1096-1104. 90. N. Wattanasakulpong, B.G. Prusty, and D.W. Kelly, Thermal buckling and elastic vibration of third-order shear deformable functionally graded beams, International Journal of Mechanical Sciences. 53(9) (2011) 734-743. 91. H. Asadi, M. Bodaghi, M. Shakeri, and M. Aghdam, An analytical approach for nonlinear vibration and thermal stability of shape memory alloy hybrid laminated composite beams, European Journal of Mechanics-A/Solids. 42 (2013) 454-468. 92. A. Warminska, E. Manoach, and J. Warminski, Vibrations of a Composite Beam Under Thermal and Mechanical Loadings, Procedia Engineering. 144 (2016) 959-966. 93. L. Jun, B. Yuchen, and H. Peng, A dynamic stiffness method for analysis of thermal effect on vibration and buckling of a laminated composite beam, Archive of Applied Mechanics (2017) 1-21. 94. A. Vosoughi, P. Malekzadeh, M.R. Banan, and M.R. Banan, Thermal buckling and postbuckling of laminated composite beams with temperature-dependent properties, International Journal of Non-Linear Mechanics. 47(3) (2012) 96-102. 95. M. Levinson, A new rectangular beam theory, Journal of Sound and vibration. 74(1) (1981) 81-87. 96. A. Krishna Murty, Toward a consistent beam theory, AIAA journal. 22(6) (1984) 811-816. 97. J.N. Reddy, A simple higher-order theory for laminated composite plates, Journal of applied mechanics. 51(4) (1984) 745-752. 98. Y. Ghugal and R. Shimpi, A trigonometric shear deformation theory for flexure and free vibration of isotropic thick beams, Structural Engineering Convention, SEC-2000, IIT Bombay, India. (2000). 99. J. Li, Q. Huo, X. Li, X. Kong, and W. Wu, Vibration analyses 38
52. of laminated composite beams using refined higher-order shear deformation theory, International Journal of Mechanics and Materials in Design. 10(1) (2014) 43-52. 100. F. Canales and J. Mantari, Buckling and free vibration of laminated beams with arbitrary boundary conditions using a refined HSDT, Composites Part B: Engineering. 100 (2016) 136-145. 101. D.C. Lam, F. Yang, A. Chong, J. Wang, and P. Tong, Experiments and theory in strain gradient elasticity, Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 51(8) (2003) 1477-1508. 102. J. Stưlken and A. Evans, A microbend test method for measuring the plasticity length scale, Acta Materialia. 46(14) (1998) 5109-5115. 103. N. Fleck, G. Muller, M. Ashby, and J. Hutchinson, Strain gradient plasticity: theory and experiment, Acta Metallurgica et Materialia. 42(2) (1994) 475-487. 104. H.-T. Thai, T.P. Vo, T.-K. Nguyen, and S.-E. Kim, A review of continuum mechanics models for size-dependent analysis of beams and plates, Composite Structures. 177(Supplement C) (2017) 196-219. 105. A.C. Eringen, Linear theory of nonlocal elasticity and dispersion of plane waves, International Journal of Engineering Science. 10(5) (1972) 425-435. 106. A.C. Eringen and D. Edelen, On nonlocal elasticity, International Journal of Engineering Science. 10(3) (1972) 233-248. 107. P. Phung-Van, Q.X. Lieu, H. Nguyen-Xuan, and M.A. Wahab, Size-dependent isogeometric analysis of functionally graded carbon nanotube-reinforced composite nanoplates, Composite Structures. 166 (2017) 120-135. 108. P. Phung-Van, A. Ferreira, H. Nguyen-Xuan, and M.A. Wahab, An isogeometric approach for size-dependent geometrically nonlinear transient analysis of functionally graded nanoplates, Composites Part B: Engineering. 118 (2017) 125-134. 109. N.-T. Nguyen, N.-I. Kim, and J. Lee, Mixed finite element 39
53. analysis of nonlocal Euler–Bernoulli nanobeams, Finite Elements in Analysis and Design. 106 (2015) 65-72. 110. N.-T. Nguyen, D. Hui, J. Lee, and H. Nguyen-Xuan, An efficient computational approach for size-dependent analysis of functionally graded nanoplates, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 297 (2015) 191-218. 111. A.C. Eringen, Micropolar fluids with stretch, International Journal of Engineering Science. 7(1) (1969) 115-127. 112. A.C. Eringen, Linear theory of micropolar elasticity, Journal of Mathematics and Mechanics (1966) 909-923. 113. A.C. Eringen, Simple microfluids, International Journal of Engineering Science. 2(2) (1964) 205-217. 114. R.D. Mindlin, Second gradient of strain and surface-tension in linear elasticity, International Journal of Solids and Structures. 1(4) (1965) 417-438. 115. F. Yang, A. Chong, D.C. Lam, and P. Tong, Couple stress based strain gradient theory for elasticity, International Journal of Solids and Structures. 39(10) (2002) 2731-2743. 116. C. Wanji, W. Chen, and K. Sze, A model of composite laminated Reddy beam based on a modified couple-stress theory, Composite Structures. 94(8) (2012) 2599-2609. 117. W. Chen and J. Si, A model of composite laminated beam based on the global–local theory and new modified couple- stress theory, Composite Structures. 103 (2013) 99-107. 118. M.M. Abadi and A. Daneshmehr, An investigation of modified couple stress theory in buckling analysis of micro composite laminated Euler–Bernoulli and Timoshenko beams, International Journal of Engineering Science. 75 (2014) 40- 53. 119. W.J. Chen and X.P. Li, Size-dependent free vibration analysis of composite laminated Timoshenko beam based on new modified couple stress theory, Archive of Applied Mechanics (2013) 1-14. 120. M. Ghadiri, A. Zajkani, and M.R. Akbarizadeh, Thermal effect on dynamics of thin and thick composite laminated 40
54. microbeams by modified couple stress theory for different boundary conditions, Applied Physics A. 122(12) (2016) 1023. 121. C.-L. Thanh, P. Phung-Van, C.H. Thai, H. Nguyen-Xuan, and M.A. Wahab, Isogeometric analysis of functionally graded carbon nanotube reinforced composite nanoplates using modified couple stress theory, Composite Structures. 184 (2018) 633-649. 122. N.-D. Nguyen, T.-K. Nguyen, T.-N. Nguyen, and H.-T. Thai, New Ritz-solution shape functions for analysis of thermo- mechanical buckling and vibration of laminated composite beams, Composite Structures. 184 (2018) 452-460. 123. T.-K. Nguyen, N.-D. Nguyen, T.P. Vo, and H.-T. Thai, Trigonometric-series solution for analysis of laminated composite beams, Composite Structures. 160 (2017) 142-151. 124. M. Şimşek, Non-linear vibration analysis of a functionally graded Timoshenko beam under action of a moving harmonic load, Composite Structures. 92(10) (2010) 2532-2546. 125. M. Fakher and S. Hosseini-Hashemi, Bending and free vibration analysis of nanobeams by differential and integral forms of nonlocal strain gradient with Rayleigh–Ritz method, Materials Research Express. 4(12) (2017) 125025. 126. X.-j. Xu and Z.-c. Deng, Variational principles for buckling and vibration of MWCNTs modeled by strain gradient theory, Applied Mathematics and Mechanics. 35(9) (2014) 1115-1128. 127. S. Ilanko, L. Monterrubio, and Y. Mochida, The Rayleigh-Ritz method for structural analysis (John Wiley & Sons, 2015). 128. V. Birman and G.A. Kardomatea, Review of current trends in research and applications of sandwich structures, Composites Part B: Engineering. 142 (2018) 221-240. 129. I. Kreja, A literature review on computational models for laminated composite and sandwich panels, Open Engineering. 1(1) (2011) 59-80. 130. T.-T. Nguyen and J. Lee, Flexural-torsional vibration and buckling of thin-walled bi-directional functionally graded beams, Composites Part B: Engineering. 154 (2018) 351-362. 41
55. 131. T.-T. Nguyen and J. Lee, Interactive geometric interpretation and static analysis of thin-walled bi-directional functionally graded beams, Composite Structures. 191 (2018) 1-11. 132. M. Vukasović, R. Pavazza, and F. Vlak, An analytic solution for bending of thin-walled laminated composite beams of symmetrical open sections with influence of shear, The Journal of Strain Analysis for Engineering Design. 52(3) (2017) 190-203. 133. T.-T. Nguyen, N.-I. Kim, and J. Lee, Analysis of thin-walled open-section beams with functionally graded materials, Composite Structures. 138 (2016) 75-83. 134. H.X. Nguyen, J. Lee, T.P. Vo, and D. Lanc, Vibration and lateral buckling optimisation of thin-walled laminated composite channel-section beams, Composite Structures. 143 (2016) 84-92. 135. N.-I. Kim and J. Lee, Exact solutions for stability and free vibration of thin-walled Timoshenko laminated beams under variable forces, Archive of Applied Mechanics. 84(12) (2014). 136. M.T. Piovan, J.M. Ramirez, and R. Sampaio, Dynamics of thin-walled composite beams: Analysis of parametric uncertainties, Composite Structures. 105 (2013) 14-28. 137. N.-I. Kim and J. Lee, Improved torsional analysis of laminated box beams, Meccanica. 48(6) (2013) 1369-1386. 138. V. Vlasov, Thin-walled elastic beams. Israel program for scientific translations, Jerusalem. 1961, Oldbourne Press, London. 139. A. Gjelsvik, The theory of thin walled bars (Krieger Pub Co, 1981). 140. M.D. Pandey, M.Z. Kabir, and A.N. Sherbourne, Flexural- torsional stability of thin-walled composite I-section beams, Composites Engineering. 5(3) (1995) 321-342. 141. S. Rajasekaran and K. Nalinaa, Stability and vibration analysis of non-prismatic thin-walled composite spatial members of generic section, International Journal of Structural Stability and Dynamics. 5(04) (2005) 489-520. 42
56. 142. S.S. Maddur and S.K. Chaturvedi, Laminated composite open profile sections: non-uniform torsion of I-sections, Composite Structures. 50(2) (2000) 159-169. 143. S.S. Maddur and S.K. Chaturvedi, Laminated composite open profile sections: first order shear deformation theory, Composite Structures. 45(2) (1999) 105-114. 144. Z. Qin and L. Librescu, On a shear-deformable theory of anisotropic thin-walled beams: further contribution and validations, Composite Structures. 56(4) (2002) 345-358. 145. J. Lee, Flexural analysis of thin-walled composite beams using shear-deformable beam theory, Composite Structures. 70(2) (2005) 212-222. 146. S.P. Machado and V.H. Cortínez, Non-linear model for stability of thin-walled composite beams with shear deformation, Thin-Walled Structures. 43(10) (2005) 1615- 1645. 147. T.P. Vo and J. Lee, Flexural–torsional coupled vibration and buckling of thin-walled open section composite beams using shear-deformable beam theory, International Journal of Mechanical Sciences. 51(9) (2009) 631-641. 148. N.-I. Kim and D.K. Shin, Dynamic stiffness matrix for flexural-torsional, lateral buckling and free vibration analyses of mono-symmetric thin-walled composite beams, International Journal of Structural Stability and Dynamics. 9(03) (2009) 411-436. 149. N.-I. Kim, D.K. Shin, and Y.-S. Park, Dynamic stiffness matrix of thin-walled composite I-beam with symmetric and arbitrary laminations, Journal of Sound and Vibration. 318(1) (2008) 364-388. 150. N.-I. Kim, D.K. Shin, and M.-Y. Kim, Flexural–torsional buckling loads for spatially coupled stability analysis of thin- walled composite columns, Advances in Engineering Software. 39(12) (2008) 949-961. 151. N.-I. Kim, D.K. Shin, and M.-Y. Kim, Improved flexural– torsional stability analysis of thin-walled composite beam and 43
57. exact stiffness matrix, International journal of mechanical sciences. 49(8) (2007) 950-969. 152. N. Silvestre and D. Camotim, Shear deformable generalized beam theory for the analysis of thin-walled composite members, Journal of Engineering Mechanics. 139(8) (2012) 1010-1024. 153. A. Prokić, D. Lukić, and I. Miličić, Free Vibration Analysis of Cross-Ply Laminated Thin-Walled Beams with Open Cross Sections: Exact Solution, Journal of Structural Engineering. 623 (2013). 154. M. Petrolo, M. Nagaraj, I. Kaleel, and E. Carrera, A global- local approach for the elastoplastic analysis of compact and thin-walled structures via refined models, Computers & Structures. 206 (2018) 54-65. 155. E. Carrera, I. Kaleel, and M. Petrolo, Elastoplastic analysis of compact and thin-walled structures using classical and refined beam finite element models, Mechanics of Advanced Materials and Structures (2017) 1-13. 156. E. Carrera, A. de Miguel, and A. Pagani, Extension of MITC to higher‐order beam models and shear locking analysis for compact, thin‐walled, and composite structures, International Journal for Numerical Methods in Engineering. 112(13) (2017) 1889-1908. 157. M. Filippi, E. Carrera, and A.M. Regalli, Layerwise analyses of compact and thin-walled beams made of viscoelastic materials, Journal of Vibration and Acoustics. 138(6) (2016) 064501. 158. E. Carrera, M. Filippi, P.K. Mahato, and A. Pagani, Advanced models for free vibration analysis of laminated beams with compact and thin-walled open/closed sections, Journal of Composite Materials. 49(17) (2015) 2085-2101. 159. A.H. Sheikh, A. Asadi, and O.T. Thomsen, Vibration of thin- walled laminated composite beams having open and closed sections, Composite Structures. 134 (2015) 209-215. 160. X. Li, Y. Li, and Y. Qin, Free vibration characteristics of a 44
58. spinning composite thin-walled beam under hygrothermal environment, International Journal of Mechanical Sciences. 119 (2016) 253-265. 161. T.-T. Nguyen, P.T. Thang, and J. Lee, Lateral buckling analysis of thin-walled functionally graded open-section beams, Composite Structures. 160 (2017) 952-963. 162. T.-T. Nguyen, N.-I. Kim, and J. Lee, Free vibration of thin- walled functionally graded open-section beams, Composites Part B: Engineering. 95 (2016) 105-116. 163. D. Lanc, G. Turkalj, T.P. Vo, and J. Brnić, Nonlinear buckling behaviours of thin-walled functionally graded open section beams, Composite Structures. 152 (2016) 829-839. 164. N.-I. Kim and J. Lee, Investigation of coupled instability for shear flexible FG sandwich I-beams subjected to variable axial force, Acta Mechanica. 229(1) (2018) 47-70. 165. N.-I. Kim and J. Lee, Coupled vibration characteristics of shear flexible thin-walled functionally graded sandwich I- beams, Composites Part B: Engineering. 110 (2017) 229-247. 166. N.-D. Nguyen, T.-K. Nguyen, T.P. Vo, and H.-T. Thai, Ritz- based analytical solutions for bending, buckling and vibration behavior of laminated composite beams, International Journal of Structural Stability and Dynamics. 18(11) (2018) 1850130. 167. N.-D. Nguyen, T.-K. Nguyen, H.-T. Thai, and T.P. Vo, A Ritz type solution with exponential trial functions for laminated composite beams based on the modified couple stress theory, Composite Structures. 191 (2018) 154-167. 168. N.-D. Nguyen, T.-K. Nguyen, T.P. Vo, T.-N. Nguyen, and S. Lee, Vibration and buckling behaviours of thin-walled composite and functionally graded sandwich I-beams, Composites Part B: Engineering. 166 (2019) 414-427. 45