Phân tích dao động và chẩn đoán vết nứt dầm FGM

Nội dung tài liệu: Phân tích dao động và chẩn đoán vết nứt dầm FGM

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ NGUYỄN NGỌC HUYÊN PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG VÀ CHẨN ĐOÁN VẾT NỨT DẦM FGM Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật Mã số: 62 52 01 01 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ KỸ THUẬT HÀ NỘI, NĂM 2017
2. Công trình được hoàn thành tại: Học viện Khoa học và Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam Người hướng dẫn khoa học 1. GS.TSKH. Nguyễn Tiến Khiêm 2. TS. Nguyễn Đình Kiên Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án tiến sĩ, họp tại Học viện Khoa học và Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam vào hồi giờ ’, ngày tháng năm 201 Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Học viện Khoa học và Công nghệ - Thư viện Quốc gia
3. 1 MỞ ĐẦU Vật liệu có cơ tính biến thiên (tiếng Anh là FGM – Functionally Graded Material, gọi tắt là vật liệu FGM) là một loại vật liệu composite mới được cấu thành chủ yếu bởi hai loại vật liệu: kim loại và gốm với tỷ lệ thể tích biến đổi một cách liên tục theo một chiều nào đó của kết cấu, ví dụ như chiều cao hoặc chiều dài của dầm. Do sự biến đổi liên tục nên vật liệu mới này có những tính năng vượt trội so với các loại composite lớp khác như tránh được sự tập trung ứng suất, sự bong tách lớp, v.v Do vật liệu FGM đang được sử dụng nhiều trong các ngành công nghệ cao như công nghệ vũ trụ, chế tạo máy, , các bài toán dao động của kết cấu FGM cũng đang được quan tâm nghiên cứu. Các phương pháp được sử dụng như: giải tích gần đúng, phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp độ cứng động và phương pháp phần tử phổ. Gần đây, một số tác giả đã bắt đầu nghiên cứu sự phá hủy của kết cấu FGM, dầm có vết nứt và bài toán chẩn đoán vết nứt trong dầm FGM đã được khởi động nghiên cứu. Tuy nhiên, những nghiên cứu về dao động của dầm FGM bị nứt và chẩn đoán vết nứt trong dầm FGM còn rất ít được quan tâm. Luận án này đặt vấn đề nghiên cứu dao động của dầm FGM có vết nứt phục vụ việc tính toán và chẩn đoán vết nứt trong dầm FGM bằng các đặc trưng động lực học. Mục tiêu của luận án là xây dựng cách tiếp cận phổ để phân tích dao động và nhận dạng các dầm FGM có vết nứt. Đối tượng nghiên cứu của luận án là dầm Timoshenko cơ tính biến thiên liên tục theo chiều dầy và theo quy luật hàm số lũy thừa. Phương pháp nghiên cứu chủ yếu của luận án là phương pháp giải tích được minh họa bằng các kết quả số. Luận án bao gồm phần mở đầu và các chương sau: Chương 1 trình bày tổng quan và ứng dụng của vật liệu FGM, bài toán dao động của dầm FGM, bài toán vết nứt trong dao động của dầm.
4. 2 Chương 2 trình bày cơ sở lý thuyết dao động của dầm FGM trong miền tần số và bài toán nhận dạng vết nứt bằng tần số riêng. Chương 3 nghiên cứu một số đặc trưng sóng của dầm FGM và sự tương tác giữa sóng ngang và sóng dọc trong dầm FGM. Chương 4 trình bày các kết quả tính toán số để minh họa cho các kết quả giải tích. Kết luận chung trình bày những kết quả chính đã thu được của luận án và đề xuất một số vấn đề cần phải tiếp tục nghiên cứu. Những đóng góp mới của luận án: 1. Đã xây dựng được lời giải cho bài toán dao động riêng; biểu thức của hàm đáp ứng tần số và ma trận độ cứng động cho dầm Timoshenko làm bằng vật liệu có cơ tính biến thiên (gọi tắt là dầm FGM) dựa trên quy luật biến đổi các đặc trưng vật liệu là hàm lũy thừa và tính đến vị trí thực của trục trung hòa trong dầm FGM (nói chung là khác với trục giữa dầm) [Công bố số 1, 6]. 2. Đã tìm được điều kiện để dao động dọc trục và dao động uốn của dầm FGM không tương tác với nhau. Từ đó đưa ra khái niệm dầm FGM tỷ lệ bao gồm cả dầm đồng nhất và nghiên cứu một số đặc trưng truyền sóng của dầm Timosshenko FGM phụ thuộc vào các tham số vật liệu [Công bố số 2, 4]. 3. Đã xây dựng được mô hình của dầm FGM có vết nứt sử dụng hai lò xo dọc trục và lò xo xoắn để mô tả vết nứt dừng (không phát triển) trong dầm FGM và tìm được lời giải giải tích về dao động của dầm FGM có một vết nứt [Công bố số 3, 5, 7]. 4. Sử dụng mô hình giải tích cho dầm FGM có vết nứt nêu trên, đã phân tích chi tiết ảnh hưởng của các tham số vật liệu, hình học và vết nứt đến tần số dao động riêng của dầm FGM và đề xuất một phương pháp giải tích để xác định một vết nứt trong dầm FGM bằng các tần số riêng [Công bố số 3].
5. 3 CHƢƠNG 1 TỔNG QUAN 1.1. Vật liệu có cơ tính biến thiên (FGM) Vật liệu FGM - là một loại composite mà các đặc tính vật liệu biến đổi liên tục từ mặt này sang mặt khác. Mỗi loại vật liệu FGM này có chỉ tiêu cơ-lý đặc trưng bởi một hàm thuộc tính vật liệu, sử dụng quy luật toán học của hàm thuộc tính vật liệu dùng để phân loại vật liệu FGM thành 3 loại cơ bản sau đây: Loại P-FGM (hàm tỷ lệ thể tích được giả thiết tuân theo quy luật hàm luỹ thừa); Loại S-FGM (hàm tỷ lệ thể tích được giả thiết tuân theo quy luật hàm Sigmoid); Loại E-FGM (môđun đàn hồi được giả thiết tuân theo quy luật hàm số mũ). Vật liệu FGM có thể được ứng dụng đối với hầu hết các lĩnh vực trong kỹ thuật công nghệ cao như năng lượng hạt nhân, hàng không vũ trụ, hệ thống biến đổi năng lượng, dụng cụ cắt, bộ phận máy móc, chất bán dẫn, quang học và các hệ thống sinh học. 1.2. Tổng quan về dao động của dầm FGM Dao động của kết cấu làm từ vật liệu FGM đã được nghiên cứu khá nhiều. Trong mục này, tác giả trình bày ngắn gọn tổng quan các nghiên cứu chính về dao động của dầm FGM được phân loại theo các phương pháp nghiên cứu như: Phương pháp giải tích; Phương pháp Rayleigh- Ritz; Phương pháp phần tử hữu hạn; Phương pháp độ cứng động. Dao động của dầm FGM có vết nứt được quan tâm vào cuối những năm 2000, trong đó sử dụng mô hình vật liệu biến thiên theo quy luật hàm số mũ và mô hình lò xo tương đương cho vết nứt, các tác giả đã phân tích ảnh hưởng của vết nứt đến tần số dao động riêng và đáp ứng động của dầm FGM. Phương pháp phần tử hữu hạn cũng đã được sử dụng để tính toán biểu đồ của các tần số theo vị trí và độ sâu của vết nứt. Các biểu đồ không chỉ được sử dụng để phân tích sự thay đổi của tần số do vết nứt mà còn phục vụ việc chẩn đoán vết nứt bằng cách đo đạc tần số riêng.
6. 4 Đối với bài toán nhận dạng vết nứt trong dầm FGM: Cho đến nay đã có một số nghiên cứu về việc chẩn đoán vết nứt trong dầm FGM sử dụng phương pháp đo dao động và phương pháp đường mức tần số. Tuy nhiên do sai số của cả đo đạc và tính toán, việc xác định độ sâu và vị trí vết nứt là rất khó khăn. 1.3. Định hƣớng nghiên cứu Mặc dù có rất nhiều công trình nghiên cứu phát triển phương pháp PTHH để phân tích kết cấu FGM, nhưng phương pháp này vẫn chưa giải quyết được bài toán dao động của kết cấu với tần số cao. Ngay cả phương pháp giải tích gần đúng như phương pháp Ritz, Galerkin, v.v cũng chỉ giải quyết bài toán dao động ở tần số cơ bản. Đã có những ý tưởng phát triển phương pháp độ cứng động (DSM) hay phương pháp phần tử phổ (SEM) để mở rộng dải tần nghiên cứu các kết cấu FGM, nhưng cho đến nay chúng mới được thử nghiệm thành công đối với kết cấu dầm FGM. Vì vậy, việc hoàn thiện các phương pháp đã biết để giải quyết trọn vẹn các bài toán cho kết cấu dầm FGM trong miền tần số cao là một vấn đề có ý nghĩa khoa học và thực tế cao. Mặt khác, các nghiên cứu đã được công bố chủ yếu nghiên cứu các kết cấu lý tưởng mà chưa kể đến các khuyết tật có thể xuất hiện trong kết cấu như vết nứt hay sự suy giảm độ cứng cục bộ khác. Đã có một số công trình nghiên cứu về sự phá hủy trong vật liệu FGM, nhưng sự phá hủy trong kết cấu hay sự xuất hiện các vết nứt trong kết cấu cũng mới chỉ được nghiên cứu bước đầu đối với dầm FGM. Trong đó, sự xuất hiện các vết nứt trong kết cấu nói chung thường biểu hiện rõ ràng ở các dao động tần số cao hơn là tần số thấp. Vì vậy, để nghiên cứu kết cấu FGM có vết nứt, các phương pháp tần số cao nêu trên là rất phù hợp và khả thi. Hơn nữa, bài toán chẩn đoán khuyết tật trong kết cấu FGM, mặc dù cho đến nay vẫn còn rất mới, chắc chắn là cần thiết bởi vì vật liệu FGM đang được ứng dụng rất nhiều trong các ngành công nghệ cao như đã
7. 5 nói ở trên. Nếu để một khuyết tật dù nhỏ trong các bộ phận của con tàu vũ trụ hay lò phản ứng hạt nhân không được phát hiện thì tai nạn xảy ra là không thể tránh khỏi. Vì những lý do nêu trên, luận án này đặt vấn đề nghiên cứu dao động của dầm FGM có vết nứt trong miền tần số để tiến tới xây dựng một phương pháp chẩn đoán vết nứt trong dầm FGM bằng các đặc trưng dao động. Nội dung nghiên cứu của luận án gồm: 1. Xây dựng các phương trình cơ bản mô tả dao động của dầm FGM trong miền tần số, trong đó bao gồm cả dao động tự do và dao động cưỡng bức và ma trận độ cứng động; 2. Nghiên cứu sự tương tác giữa dao động dọc trục và dao động uốn trong dầm FGM và một số đặc trưng truyền sóng của dầm FGM; 3. Xây dựng mô hình dầm FGM chứa một vết nứt sử dụng mô hình hai lò xo để mô tả vết nứt và phân tích ảnh hưởng của vết nứt cùng với các tham số vật liệu lên tần số riêng của dầm; 4. Đề xuất một thuật toán để chẩn đoán một vết nứt trong dầm FGM bằng tần số riêng và kiểm nghiệm bằng thử nghiệm số. CHƢƠNG 2 DAO ĐỘNG CỦA DẦM FGM TIMOSHENKO CÓ VẾT NỨT Trong chương này, tác giả sẽ thiết lập các phương trình tổng quát mô tả dao động của dầm FGM Timoshenko dựa trên quy luật biến đổi hàm lũy thừa của các đặc trưng vật liệu và tính đến vị trí thực của trục trung hòa, nói chung không trùng với trục đối xứng của tiết diện ngang. Xét một dầm có chiều dài L, tiết diện ngang là hình chữ nhật với chiều rộng là b và chiều cao là h, diện tích tiết diện ngang A = b h. Dầm được làm từ vật liệu FGM với các đặc trưng vật liệu chỉ biến đổi theo chiều cao (z) tuân thủ quy luật:
8. 6 E() z  Eb  E t E b  n z 1 G( z )  Gb  G t G b  , h / 2 z h / 2 (2.1) h 2 ()z  b  t b  Trong đó, E là mô đun đàn hồi, G là mô đun trượt và ρ là mật độ khối và chỉ số t và b ký hiệu giá trị của các đặc trưng vật liệu này ở mặt trên và mặt đáy và z là tọa độ tính từ mặt giữa ở độ cao h/2 kể từ đáy dầm. 2.1. Phƣơng trình chuyển động Giả sử dầm chịu tác dụng của tải phân bố: dọc trục p(x, t), tải ngang q(x,t) và mô men m(x, t), sử dụng nguyên lý Hamilton, và thực hiện phép biến đổi Fourier, ta nhận được phương trình chuyển động trong miền tần số: 22 ()()(,)I11 U A 11 U  I 12  A 12  P x  ; 22 ()()()(,)I12 U A 12 U  I 22  A 22  A 33 W  M x  ; (2.8) 2 I11 W A 33 ()(,) W  Q x . Sử dụng các ký hiệu ma trận, có thể viết phương trình (2.8) về dạng Az Bz Cz q . (2.11) 2.2. Các đặc trƣng dao động của dầm FGM 2.2.1. Tần số và dạng dao động riêng Dao động riêng của hệ được xác định từ phương trình Az Bz Cz 0 . (2.12) Nghiệm của phương trình (2.12) tìm được dưới dạng z0 (,)(,)xx Φd (2.19) T trong đó d {dd11 , , 16 } là các hằng số phải tìm. Áp các điều kiện biên động học cho nghiệm tổng quát (2.19) với điều kiện tồn tại nghiệm khác 0 thu được phương trình tần số 1 f ()det[BBBB11 ()  12 ()  22 ()  21 ()]0  . (2.23) Ứng với mỗi nghiệm của phương trình (2.23) k ,k 1, 2, ta có một dạng dao động riêng φk()(,)xx Φ k d k . (2.24)
9. 7 2.2.2. Ma trận truyền – Đáp ứng tần số Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất (2.11) có thể xác định được dưới dạng z(,)(,)(,)x z0 x  zq x  , (2.25) trong đó z0 (,)x  là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất được xác định dưới dạng (2.19). Nghiệm riêng zq (,)x  của phương trình (2.11) có dạng x z(,)(,)(,)x H x   q   d  , (2.26) q 0 trong đó H(,)x  là ma trận truyền. Nghiệm (2.25) thoả mãn các điều kiện biên ở đầu trái của dầm và có thể được biểu diễn như sau z(,)(,)(,)x Φ x  d zq x  . (2.34) Áp dụng điều kiện biên cho nghiệm (2.34) thu được 1 d [ BLq0 ( )] { b ( )}. (2.37) Do đó, đáp ứng tần số của dầm FGM đối với tải trọng bất kỳ được xác định dưới dạng 1 z(,)x Φ (,)[ x  BL0 ()]{()}  b q  z q (,) x  . (2.38) 2.2.3. Ma trận độ cứng động Trong mục này, tác giả xây dựng ma trận độ cứng động cho phần tử dầm hai chiều làm từ vật liệu FGM tuân thủ quy luật (2.1). Ký hiệu các tọa độ nút và các lực đầu nút như sau: TT UP {,,,,,};{,,,,,}UWUWNMQNMQ111222   111222 (2.48) Áp dụng công thức (2.25) tính được (0, ) 0 P10{} x Pz10{}qx Ud ; Pd   (2.50) z ()L Pz{} (,)L  q P2{} xL 2 q x L Khử véc tơ hằng số d trong (2.50) dẫn đến [()]PKUF [ ()]{}{}  , (2.52)
10. 8 trong đó [K], {F} lần lượt là ma trận độ cứng động và tải trọng nút của phần tử dầm FGM đang xét. 2.3. Dao động của dầm FGM có vết nứt 2.3.1. Mô hình vết nứt trong dầm FGM Xét dầm có một vết nứt ở vị trí e tính từ đầu bên trái của dầm và vết nứt được mô hình hoá bởi các lò xo tương đương có độ cứng T đối với lò xo dọc trục và R đối với lò xo xoắn R x = 0 T x = L x = e Hình 2.3. Mô hình vết nứt trong dầm FGM. các điều kiện tương thích tại vị trí vết nứt là U( e 0) U ( e 0) 1 Ux ( e ); (e 0)  ( e 0)  2  x ( e ) ; W( e 0) W ( e 0) ;Uxx ( e 0) U ( e 0); (2.57)  xx(ee 0)  ( 0); Wx ( e 0) W x ( e 0)  2  x ( e ) Trong đó 1, 2 là độ lớn vết nứt. Trong phân tích dạng dao động của dầm FGM có vết nứt, độ lớn vết nứt được tính gần đúng bằng 1 A 11/ T F 1 ( a ); 2 A 22 / R F 2 ( a ) (2.63) 22 F1()2(1 a  0 ) h  1 f 1 ();()6(1 a F 2 a  0 ) h  2 f 2 (). a (2.64) 2.3.2. Phương trình đặc trưng Nghiệm tổng quát của phương trình (2.12) thoả mãn các điều kiện tương thích tại vị trí vết nứt có dạng z()[x ΦKΦDGD0 (,) x ( x e ) 0 (,)]{}[ e  L (,)]{} x  (2.84) Áp dụng điều kiện biên đối với nghiệm (2.84) thu được phương trình tần số của dầm FGM bị nứt ( ) det[BBGLL (  )] det[ L L (x ,  ) xL ] 0. (2.87)
11. 9 Mỗi nghiệm j của phương trình này là một tần số riêng của dầm tương ứng với một dạng dao động riêng j()(,)x C jGDL x j j , (2.88) Bài toán đặt ra ở đây bao gồm tính các tần số và dạng riêng của dầm phụ thuộc vào các tham số vết nứt từ các phương trình (2.87) và (2.88). 2.3.3. Bài toán chẩn đoán vết nứt trong dầm FGM Trong phần này, tác giả đặt bài toán ngược: xác định vị trí và chiều sâu vết nứt khi biết các tần số riêng. Từ biểu thức tính ma trận BLL ()  ( ) det[BLL ( )] (2.96) d0()(,)(,)(,)  1 d 1 e   2 d 2 e   1  2 d 12 e  Giả sử rằng có ba tần số riêng, thay vào (2.96) thu được ak1() e 1 a k 2 () e  2 a k 3 () e  3 b 0 k , k 1,2,3 (2.100) Hệ phương trình tuyến tính (2.100) có thể dễ dàng giải được nghiệm 1 1/  1 ();e  2 2 /  2 (); e  3 3 /  3 () e (2.102) (e ) 1 ( e )  2 ( e )  3 ( e ) 0 , (2.104) (2.102) và (2.104) cho ta phương trình xác định vị trí vết nứt e, độ lớn vết nứt và chiều sâu vết nứt a. Như vậy, bài toán xác định vết nứt trong dầm FGM Timoshenko được giải hoàn toàn. Kết luận chƣơng 2 Trong chương này, tác giả đã xây dựng được các phương trình cơ bản để tính toán dao động của dầm FGM tính đến vị trí thực của trục trung hòa, giải bài toán dao động riêng. Đồng thời đã thiết lập được các công thức để nghiên cứu hàm đáp ứng tần số là chìa khóa để nghiên cứu dao động cưỡng bức cũng như nghiên cứu thực nghiệm đối với dầm FGM. Đã xây dựng được ma trận độ cứng động lực cho dầm FGM là công cụ để phát triển phương pháp độ cứng động cho các kết cấu khung làm từ vật liệu FGM. Đặc biệt, đã xây dựng được mô hình dầm FGM có vết nứt được mô tả đồng thời bằng hai lò và đề xuất một phương pháp xác định vị trí và độ sâu của một vết nứt trong dầm FGM bằng 3 tần số.
12. 10 CHƢƠNG 3 SỰ TƢƠNG TÁC GIỮA DAO ĐỘNG DỌC TRỤC VÀ DAO ĐỘNG UỐN TRONG DẦM FGM 3.1. Điều kiện không tƣơng tác giữa dao động dọc trục và dao động uốn Vị trí của trục trung hoà h0, đối với dầm FGM tuân theo luật lũy thừa, xác định bằng n( Re 1) h h0 ,/ Re E t E b . (3.3) 2(n 2)( n Re ) Với h0 tìm được trong (3.3) thì hệ số A12 = 0, hơn nữa nếu I12 = 0 thì phương trình dao động tự do của dầm FGM được viết lại thành I11 u A 11 u 0; (I A  ) A ( w  ) 0; (3.6) 22 22 33 I11 w A 33 ( w  ) 0. Phương trình đầu tiên trong (3.6) là phương trình dao động dọc trục thuần túy và hai phương trình sau có dạng hoàn toàn tương tự phương trình dao động uốn của dầm Timoshenko. Như vậy, trong trường hợp này dao động dọc trục và dao động uốn của dầm FGM đã tách rời hoàn toàn. Do đó điều kiện tách rời hay không tương tác của dao động dọc trục và dao động uốn trong dầm FGM là I12 = 0. Sử dụng công thức (3.3), ta có thể biểu diễn I12 ở dạng Ah be() R R n I12 ; (3.7) 2(2 n )( Re n ) Dễ dàng nhận thấy I12 = 0 khi n = 0 hoặc R = Re. Trường hợp n = 0, khi vật liệu là đồng nhất thì sự độc lập giữa dao động dọc trục và dao động uốn trong dầm đồng nhất đã được biết đến. Trường hợp thứ hai, điều kiện không tương tác là RRe . (3.8) Dầm FGM thỏa mãn điều kiện (3.8) có thể gọi là dầm FGM tỷ lệ (PFG Beam) và tỷ số r Re / R gọi là hệ số tỷ lệ của vật liệu.
13. 11 3.2. Dao động uốn thuần túy của dầm FGM Trong phần này tác giả nghiên cứu dao động uốn độc lập cho bởi các phương trình cuối trong (3.6). Nghiệm của chúng được tìm dưới dạng z [(,) G12x G (,)] x  d G (,) x  d (3.25) Nghiệm (3.25) thoả mãn các điều kiện biên tại các đầu của dầm. Từ đó thu được phương trình tần số của dầm FGM tỷ lệ. L0L( ) det[G ( )] 0, (3.32) Mỗi nghiệm j ta một dạng dao động riêng  j()(,)x C jGD0 x  j j , (3.33) Xét một ví dụ cụ thể đối với dầm FGM tỷ lệ có các thông số vật liệu 11 2 3 đầu vào như sau: Ebb 2.1 10 N / m ,  7850 kg / m ,1 0.3 (mặt dưới) Từ các thông số vật liệu ở mặt dưới này ta tính được các thông số vật liệu ở mặt trên với tỷ phần r: Etb rE ; tb r . Phân tích tần số cắt Tần số cắt được xác định là hàm của hệ số tỷ lệ với chỉ số phân bố vật liệu thay đổi với các mảnh khác nhau được cho trong hình vẽ. 230 1.1 L/h=10 225 n=20 n=10 220 1.05 n=50 215 n=5 n=1 210 1.0 n=0 n=0.1 n=0.5 205 n=2 n=0.2 n=2 n=0.2 n=0.5 200 Normalizednatural frequency 0.95 n=0.1 n=1 n=0 Nondimensional cutoff frequency 195 n=5 n=50 190 0.9 n=20 185 n=10 180 0.85 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 r 5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 r Proportional ratio, r Material proportional factor, r Hình 3.5. Tần số cắt chuẩn hoá độc Hình 3.7. Tần số riêng chuẩn hoá lập phụ thuộc tỷ số r với các chỉ số độc lập của dần FGM phụ thuộc vào phân bố vật liệu n khác nhau. tỷ số r với các giá trị n khác nhau. Phân tích tần số riêng Có thể thấy rằng tần số dao động uốn tự nhiên của dầm PFG bị giới hạn trong khoảng từ (0.9 – 1.1) lần so với tần số của dầm đồng nhất.
14. 12 Phân tích dạng dao động 1 0.8 L/h=5 =10 0.6 =20 Phân tích số chỉ ra rằng các dạng =30 0.4 =50 =100 dao động của dầm PFG không 0.2 0 chịu ảnh hưởng bởi các thông số -0.2 -0.4 vật liệu như tỷ phần r và chỉ số -0.6 -0.8 -1 phân bố vật liệu n, chúng có thể 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Hình 3.11. Dạng dao động thứ ba thay đổi ít phụ thuộc vào độ phụ thuộc vào độ mảnh L/h của dầm. mảnh của dầm. 3.3. Các đặc trƣng sóng của dầm FGM Trong mục này tác giả khảo sát một số đặc trưng truyền sóng của dầm FGM, trong đó có sự tương tác giữa sóng dọc và sóng ngang. Các nghiệm của phương trình đặc trưng của phương trình dao động tự do của dầm FGM  j ,j 1, 2, 3 có thể được biểu diễn dưới dạng 22 j j (ik j ) , j 1, 2, 3, trong đó kjj , 1, 2, 3 biểu thị số sóng tương ứng với dạng dao động dọc trục, uốn và cắt. Các bình phương của 2 số sóng jj kj, 1,2,3 của dầm FGM sẽ được xác định là hàm của tần số dưới dạng các đặc trưng phổ của các dạng sóng. Đặc trưng sóng này tìm được với sự thay đổi của chỉ số phân bố của vật liệu n và độ mảnh L/h của dầm đối với dầm làm bằng vật liệu thép-nhôm được cho trong các hình vẽ. 4 x 10 1400 4 L/h=5 L/h=5,10 n=50 1200 20 3 10 1000 2 5 2 2 2 L/h=20 800 1 1 L/h=30 600 0.5 L/h=50 Axial wave characteristic,k1 0.2 0 400 0.1 Shear wave characteristic,k3 n=10 n=0 -1 200 L/h=100 0 -2 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 200 400 600 800 1000 1200 Dimensionless frequency Dimensionless frequency Hình 3.12. Đặc trưng phổ của sóng Hình 3.17. Đặc trưng phổ của sóng dọc trục với chỉ số phân bố vật liệu n ngang với n = 5 và các độ mảnh thay đổi và độ mảnh L/h = 5. khác nhau của dầm.
15. 13 7 7 x 10 x 10 4 10 9 3.5 r =R2/R1 r =R1/R2 8 3 7 r=2 r =1 2.5 6 r=0.2 2 5 r=0.4 r=0.1 r=0.1 4 1.5 Dimentionless cutoff frequency Dimensionless cutoff frequency 3 1 r =1 2 0.5 r=2 1 0 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Material distribution index, n Material distribution index, n Hình 3.18. Tần số cắt phụ thuộc vào Hình 3.19. Tần số cắt phụ thuộc vào chỉ số phân bố vật liệu n với sự thay chỉ số phân bố vật liệu n với sự thay đổi của tỷ số mô đun đàn hồi của vật đổi của tỷ số mật độ khối. liệu. Từ các đồ thị này có thể thấy rằng tất cả các đặc trưng sóng tăng theo chỉ số phân bố của vật liệu n; đặc trưng sóng dọc trục tăng theo độ mảnh L/h của dầm. Các đặc trưng của dao động uốn và cắt giảm khi độ mảnh tăng lên, tuy nhiên, ảnh hưởng của độ mảnh đối với dao động uốn là không nhiều bằng dao động dọc trục và cắt. Kết luận chƣơng 3 Trong Chương này, sử dụng kết quả tính toán chính xác của vị trí trục trung hòa, tác giả đã nhận được điều kiện để dao động dọc trục và dao động uốn trong dầm FGM tách rời hoàn toàn, gọi là điều kiện không tương tác, từ đó đưa ra khái niện dầm PFG tỷ lệ. Đã nghiên cứu chi tiết hệ số tương tác phụ thuộc vào các tham số vật liệu và hình học, đồng thời cũng đã nghiên cứu tần số và dạng riêng trong dao động uốn của dầm FGM tỷ lệ (gọi là dao động uốn thuần túy hay dao động uốn tách rời). Nghiên cứu một số đặc trưng sóng của dầm FGM trong trường hợp có sự tương tác giữa dao động dọc và dao động uốn, trong đó đặc biệt nghiên cứu tần số cắt (là tần số bắt đầu xuất hiện sóng trượt hay gọi là sóng cắt) phụ thuộc vào các tham số vật liệu.
16. 14 CHƢƠNG 4 KẾT QUẢ SỐ VÀ THẢO LUẬN 4.1. Tần số và dạng dao động riêng Các tính toán số được tiến hành cho dầm FGM với các tham số vật liệu: 11 2 3 Ebb 2.1 10 N / m , 7800 kg / m , h0 0.0653, (4.1) 11 2 3 Ett 3.9 10 N / m , 3960 kg / m , n 10. Trước hết, tính năm tần số riêng chuẩn hóa của dầm độ với độ mảnh L/h khác nhau sử dụng lý thuyết được phát triển ở trên và có xét tới vị trí thực của trục trung hoà (lý thuyết - NA) và lý thuyết với giả thiết trục trung hoà trùng với trục giữa (lý thuyết - CA). Kết quả nhận được được so sánh với các kết quả thu được khi sử dụng phương pháp độ cứng động với giả thiết trục trung hoà trùng với trục giữa (h0 = 0). Các kết quả chỉ ra rằng phương pháp đề xuất tính toán và phương pháp độ cứng động cho kết quả các tần số riêng trong dao động uốn là tương đồng. Tuy nhiên, các kết quả là khác nhau đối với dao động dọc trục – dao động phụ thuộc với dao động uốn trong dầm FGM Timoshenko. Rất có thể tính đến trục trung hòa làm thay đổi nhiều tần số dao động dọc trục. 3 3.5 a) n=0.1 n=0.2 3 2.5 n=0.5 n=0.1 2.5 n=0.2 n=1 n=0.5 2 n=2 2 n=3 n=1 n=5 n=2 1.5 n=8 1.5 n=5 n=10 n=20 Normalized natural frequency n=50 1 n=50 Normalized natural frequency 1 n=30 n=10 n=20 0.5 0.5 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 Elasticity modulus ratio Neutral axis dislocation (h0/h) Hình 4.2. Sự thay đổi của các tần số Hình 4.1. Các tần số riêng chuẩn hoá riêng chuẩn hoá theo tỉ số mô đun đàn theo sự thay đổi vị trí của trục trung hồi với các số mũ n khác nhau. hoà với các số mũ n khác nhau. Rõ ràng các tần số riêng tăng cùng với tỷ số mô đun đàn hồi nhưng tốc độ tăng phụ thuộc vào số mũ n. Số mũ càng cao thì tốc độ tăng càng giảm (khi R > 1) và ngược lại khi R < 1. Các tần số đều giảm khi số mũ
17. 15 n tăng, nhưng không có nhiều khác biệt với L/h > 20, đặc biệt tần số dọc trục khá nhạy cảm với độ mảnh của dầm khi L/h 10 thì các tần số hầu như không còn phụ thuộc nhiều vào số mũ n và vị trí trục trung hòa. Bảng 4.1. So sánh các tần số riêng chuẩn hóa của dầm đơn FGM Timoshenko. λ λ λ λ λ L/h 1 2 3 4 5 Tài liệu 2.9513 10.176 (10.1162) 16.686 (16.6665) 19.331 (19.2502) 29.194 (29.1011) 5 [50] Luận án (CA) 2.9359 8.3233 10.1441 19.2500 24.9647 29.1027 2.9369 8.3405 10.1304 19.2538 24.9626 29.0944 Luận án (NA) (B1) (A1) (B2) (B3) (A2) (B4) Tài liệu 3.0959 11.805 24.799 33.371 40.700 10 [50] Luận án (CA) 3.0802 11.7469 16.6775 24.6903 40.5127 3.0805 11.7476 16.6850 24.6834 40.5205 Luận án (NA) (B1) (B2) (A1) (B3) (B4) Tài liệu 3.1363 12.383 27.291 47.214 66.743 [50] 20 Luận án (CA) 3.1205 12.3206 27.1452 33.3651 46.9994 3.1206 12.3218 27.1584 33.3718 46.9904 Luận án (NA) (B1) (B2) (B3) (A1) (B4) Tài liệu 3.1440 12.502 27.861 48.888 75.163 30 [50] Luận án (CA) 3.1282 12.4394 27.7209 48.5505 50.8179 74.8179 3.1282 12.4399 27.7242 48.6527 50.0582 74.8093 Luận án (NA) (B1) (B2) (B3) (B4) (A1) (B5) Tài liệu 3.1496 12.591 28.304 50.253 78.388 100 [50] Luận án (CA) 3.1337 12.5285 28.1641 50.0073 78.0119 3.1338 12.5285 28.1668 50.0095 78.0140 Luận án (NA) (B1) (B2) (B3) (B4) (B5) Ak – dao động dọc trục thứ k; Bk – dao động uốn thứ k; CA – Theo lý thuyết trục giữa; NA – Theo lý thuyết trục trung hoà. Các dạng dao động riêng tương ứng với các tần số tính được trong bảng 4.1 được trình bày trong các hình vẽ với các ký hiệu các dạng dao động dọc trục (Ak) và dao động uốn (Bk). Các tính toán số chỉ ra rằng các dạng dao động phụ thuộc vào độ mảnh nhiều hơn là các tham số vật liệu của dầm.
18. 16 1 1 0.8 0.8 Mode 5 0.6 0.6 Mode 2 0.4 0.4 Mode 1 Mode 1 0.2 0.2 0 0 Mode 3 -0.2 -0.2 Mode 4 -0.4 -0.4 Mode 4 Mode 3 Mode 2 -0.6 Mode 5 -0.6 -0.8 -0.8 -1 -1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 First five mode shapes of FGM-SS-Beam, n=10,L/h=5 First five mode shape of bending vibration, n=10,L/h=30 Hình 4.6. Năm dạng dao động đầu Hình 4.9. Năm dạng dao động đầu tiên của dầm đơn FGM với n = 10 và tiên của dầm đơn FGM với n = 10 và L/h = 5. L/h = 30. 4.2. Hàm đáp ứng tần số Các hàm đáp ứng tần số của dầm với các tham số vật liệu (4.1) được tính toán với các tỉ số độ mảnh L/h khác nhau. Hàm đáp ứng tần số đơn (với điểm đặt lực trùng với điểm đo đáp ứng -The auto FRFs); Hàm đáp ứng tần số chéo (với điểm đặt lực không trùng với điểm đo đáp ứng - the cross FRFs). Các kết quả là các tần số và dạng dao động riêng xác định được từ các hàm đáp ứng tần số biểu thị trong các hình vẽ là trùng khớp với các kết quả thu được trong bảng 4.1 được xác định bằng cách giải phương trình tần số. Do đó có thể kết luận rằng các tham số của mô hình như các tần số và dạng dao động riêng của dầm FGM Timoshenko có thể xác định được bằng phương pháp thử nghiệm động thông dụng. 140 60 Eb=210,Rob=7800,Et=390,Rot=3960,n=10 Eb=210,Rob=7800,Et=390,Rot=3960,n=10 L/h=10 120 L/h=10 50 L/h=10 100 40 80 L/h=5 30 L/h=20 Croo axial-flexural FRF 60 L/h=20 L/h=5 Cross Cross flexural-axial FRF 20 40 L/h=10 L/h=30 10 20 L/h=5 0 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Dimesionless frequency Dimensionless frequency Hình 4.13. Hàm đáp ứng tần số chéo Hình 4.14. Hàm đáp ứng tần số chéo dọc trục-uốn với tỉ số độ mảnh khác uốn-dọc trục với tỉ số độ mảnh khác nhau. nhau.
19. 17 Axial frequency response to axial unite impact 2000 re=1/6 (a) 1800 10000 re=4 1600 re=1/4 1400 8000 1200 6000 1000 Autyo-Flexural FRF re=5 re=1/6 re=1/3 800 re=7 re=9 Axial displacement FRF 4000 600 re=1/5 re=6 400 re=1/2 re=2 re=1 re=8 re=10 2000 re=1 re=3 re=3 200 re=6 re=8 re=10 re=1/2 re=2 re=4 re=5 re=7 re=9 0 0 10 11 12 13 14 15 15 16 17 18 19 20 21 Dimensionless frequency Dimensionless frequency Hình 4.19. Hàm đáp ứng tần số đơn Hình 4.20. Hàm đáp ứng tần số đơn uốn với các tỉ số mô đun đàn hồi khác dọc trục với các tỉ số mô đun đàn hồi nhau. khác nhau. Các hàm đáp ứng tần số tìm được cho thấy sự tăng của các tần số riêng khi tỉ số mô đun đàn hồi tăng lên. Hơn nữa, các đồ thị của các hàm đáp ứng tần số chỉ ra rằng đỉnh dao động dọc trục chiếm ưu thế với Re = 1/6 và dao động uốn chiếm ưu thế khi Re = 1/4 và 4. 4.3. Ảnh hƣởng của vết nứt đến tần số và dạng dao động riêng 4.3.1. So sánh nghiên cứu a. Các tần số riêng của dao động phụ thuộc Trước hết ta tính các tần số riêng không thứ nguyên đối với dầm FGM Timoshenko nguyên vẹn với các tham số vật liệu như sau: 11 2 3 Thép: Eb 2.1 10 N / m ,  b 7850 kg / m , b 0.3 (mặt dưới); 11 2 3 Nhôm: Et 0.7 10 N / m,  t 2707 kg / m , t 0.3 (mặt trên); Bảng 4.2 cho các kết quả thu được với mô hình dao động phụ thuộc của dầm so sánh với các kết quả tính toán trong đó bỏ qua dao động dọc trục. Bảng 4.2. So sánh các tần số riêng không thứ nguyên của dầm FGM nguyên vẹn chịu liên kết đơn. No. 1 2 3 4 5 6 7 Mode 1st uốn 1st dọc trục 2d uốn 3rd uốn 2nd dt 4th uốn 5th uốn Luận án 2.4972 6.2562 8.3535 15.5235 18.7686 23.1155 30.8132 Li 2.4972 n/a 8.3536 15.5236 n/a 23.1155 30.8133 No. 8 9 10 11 12 13 14 Mode 3rd dọc trục 6- uốn 7- uốn 8- uốn 9- uốn 4th dt 10- uốn Luận án 31.2802 33.2100 36.1146 38.5061 43.1807 43.7955 46.1580
20. 18 Li n/a 33.2032 36.1144 38.5062 43.1833 n/a 46.1581 No. 15 16 17 18 19 20 21 Mode 11- uốn 12- uốn 5th dt 13- uốn 14- uốn 6th dt 15- uốn Luận án 52.2863 53.7605 56.3034 61.3153 62.4261 68.8114 68.8282 Li 52.2854 53.7606 n/a 61.3154 62.423 n/a 68.8279 2 L = 0.5m; h = 0.125m;  (/)/ L h bb E ; b. Mô hình dầm FGM bị nứt đề xuất Để chứng minh lý thuyết đề xuất đối với mô hình dầm FGM Timoshenko có vết nứt, tính toán các tần số riêng của dầm ngàm hai đầu và so sánh các kết quả thu được với các kết quả sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn. 1 0.99 Yang & Chen, Yang & Chen, L/h=20, Eb/Et=5.0 L/h =10, Eb/Et =5.0 Luận án 0.98 Luận án L/h =20, Eb/Et =5.0 L/h =10, Eb/Et =5.0 Yang & Chen, L/h =20, Eb/Et =0.2 0.97 Yang & Chen, Luận án L/h =10, Eb/Et =0.2 Fundamental frequency ratio L/h =20, Eb/Et =0.2 0.96 Luận án Tỉ số Tỉ số tấn cơ bản L/h =10, Eb/Et =0.2 0.95 0.94 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Crack positrion Vị trí vết nứt Hình 4.25. Tỉ số tần số cơ bản của dầm ngàm hai đầu so sánh với các kết quả thu được của tác giả Yang và Chen; độ sâu vết nứt a/h = 20%. So sánh các kết quả thu được (đường nét liền) với các kết quả thu được sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn (đường nét đứt) cho thấy sự tương đồng của mô hình vết nứt đã đề xuất trong luận án đối với dầm FGM và được sử dụng để phân tích dầm Timoshenko có vết nứt. Các kết quả thu được là tương đồng mặc dù sử dụng quy luật phân bố khác nhau của vật liệu.
21. 19 4.3.2. Ảnh hưởng của vết nứt đến tần số riêng Sự thay đổi của các tần số riêng gây ra do vết nứt thường được gọi là độ nhạy của tần số riêng với vết nứt. Sự thay đổi của các tần số riêng ở đây được biểu diễn thông qua tỉ số của các tần số của dầm bị nứt (gọi tắt là tần số nứt) trên tần số của dầm nguyên vẹn (tần số nguyên vẹn). Các tỷ số này là đại lượng không thứ nguyên và là hàm của vị trí và độ sâu của vết nứt và được tính phụ thuộc vào vị trí vết nứt nằm dọc theo chiều dài của dầm. Đối với bài toán đặt ra ở đây là nghiên cứu sự thay đổi của tần số riêng phụ thuộc vào các tham số hình học và vật liệu của dầm FGM Timoshenko ngàm hai đầu. Trước hết, từ các đồ thị có thể thấy rằng, cũng tương tự như đối với dầm đồng nhất, tần số riêng có thể sẽ không thay đổi nếu vết nứt ở tại một số vị trí đặc biệt trên dầm. Các điểm này được gọi là điểm nút tần số. Trong trường hợp tổng quát, điểm nút tần số có thể tìm từ các phương trình 0 0 0 d1(, xk )0; d 2 (, x  k )0; d 12 (, x  k )0 (4.2) trong đó các hàm d1(,); x d 2 (,); x  d 12 (,) x  được xác định trong 0 (2.96) và k là tần thứ k của dầm FGM không nứt. a/h=5% a/h=5% a/h=5% a/h=5% 1 1 10% 10% 10% 10% 0.99 15% 0.99 15% 15% 15% 20% 20% 0.98 20% 0.98 20% 0.97 0.97 30% 0.96 30% 30% 0.96 (b1) - Second frequency 0.95 Re=5.0,n=0.5 30% Re=0.2,n=0.5 Re=5.0,n=0.5 (c1) - Third frequency 0.95 (c1) Tần số thứ ba Re=0.2,n=0.5 0.94 (b1) Tần số thứ hai 0.93 0.94 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 VịCrack trí vếtposition nứt VịCrack trí positionvết nứt Hình 4.27. Sự thay đổi của các tần số Hình 4.28. Sự thay đổi của các tần số riêng thứ hai phụ thuộc vào chiều sâu riêng thứ ba phụ thuộc vào chiều sâu vết nứt (5%-30%) và tỉ số mô đun đàn vết nứt (5%-30%) và tỉ số mô đun hồi Re = 0.2 & 5.0 đối với dầm FGM đàn hồi Re = 0.2 & 5.0 của dầm FGM ngàm hai đầu với L/h = 10, n = 0.5. ngàm hai đầu với L/h = 10, n = 0.5.
22. 20 1 1 0.995 0.995 0.99 0.99 0.985 0.985 n=0.2,Re=0.2 n=10,Re=5 0.98 0.98 n=0.2,Re=0.2 n=10,Re=5 n=1,Re=5 0.975 n=1,Re=0.2 0.975 0.97 0.97 Re=0.2 n=1,Re=0.2 n=1,Re=5 n=10,Re=0.2 n=0.2,Re=5 Re=5.0 0.965 0.965 r=0.2 r=5.0 n=10,Re=0.2 (b2) Second frequency, n (Re=0.2&5) n=0.2,Re=5 0.96 0.96 (b2) Tần số thứ hai - n (Re = 0.2 & 5) (a2) First frequency, n (Re=0.2&5) 0.955 (a2) Tần số thứ nhất - n (Re = 0.2 & 5) 0.955 0.95 0.95 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Crack position VịCrack trí vết position nứt Vị trí vết nứt Hình 4.35. Ảnh hưởng của tần số Hình 4.36. Ảnh hưởng của tần số riêng thứ nhất phụ thuộc vào vị trí vết riêng thứ hai phụ thuộc vào vị trí vết nứt với n = (0.2 – 10) và Re = 0.2; 5.0 nứt với n = (0.2 – 10) và Re = 0.2; đối với dầm ngàm hai đầu với 5.0 đối với dầm ngàm hai đầu với L/h = 10, và a/h = 20%. L/h = 10, và a/h = 20%. 1.005 1.005 L/h=5 L/h=5 1 1 100 100 100 0.995 100 0.995 30 30 0.99 20 20 0.99 30 30 0.985 0.985 10 10 0.98 20 0.98 20 0.975 0.975 0.97 10 (c1) Third frequency n=5,Re=0.2 (c2)(c2 )Third Tần frequency số thứ ba n=5.0,Re=0.2 n=5,Re=5.0 n=0.5,Re=0.2 0.97 (c1) Tần số thứ ba 10 0.965 0.965 0.96 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Crack position Crack position Vị trí vết nứt Vị trí vết nứt Hình 4.40. Sự thay đổi của tần số Hình 4.43. Sự thay đổi của tần số riêng thứ ba với tỉ số độ mảnh L/h=5- riêng thứ ba với độ mảnh L/h = 5-50 50 của dầm ngàm hai đầu với Re=0.2 của dầm ngàm hai đầu với Re = 0.2, &5.0, n=5.0 và độ sâu vết nứt a/h=20%. n=0.5&5.0 và độ sâu vết nứt a/h=20%. Nghiệm của phương trình (4.2) cho trong bảng 4.3 cho thấy rằng chỉ tồn tại một điểm tới hạn chính xác đối với dạng dao động thứ hai của dầm FGM ngàm hai đầu là ở vị trí giữa của dầm (e0 = 0.5). Tuy nhiên, tất cả các điểm tới hạn, như đã chỉ ra trên các hình vẽ là khá gần với các nghiệm của phương trình thứ hai trong (4.2). Điều này là do các giá trị 0 0 0 của các hệ số de1(,)k , de12 (,)k là rất nhỏ so với de2 (,)k ). Từ các đồ thị cho thấy sự thay đổi của các tần số riêng là giảm đáng kể khi độ sâu vết nứt tăng lên và ngoài ra còn phụ thuộc vào tham số hình học và vật liệu của dầm. Các tần số riêng của dao động uốn ít nhạy cảm với vết nứt khi độ mảnh tăng lên và phụ thuộc vào vật liệu chế tạo dầm.
23. 21 Bảng 4.3. Nghiệm của phương trình (4.2) và các điểm tới hạn đối với dầm FGM Timoshenko ngàm hai đầu. Mode 0 0 0 dx1( ,k ) 0 dx2 ( ,k ) 0 dx12 ( ,k ) 0 1 0.0788 0.2432 0.7568 0.22 0.78 0.1523 0.2317 0.7683 0.8591 2 - 0.5 0.5379 0.13 0.5 0.87 0.5 0.5218 3 0.32 0.69 0.09 0.35 0.65 0.91 0.0771 (0.34) (0.66) 0.9223 4.4. Lời giải bài toán chẩn đoán vết nứt bằng tần số riêng Các kịch bản vết nứt khác nhau ở đây bao gồm ba tham số: độ sâu vết nứt (5% - 20%); vị trí vết nứt (11 vị trí từ vị trí số 0 tới 1 tương ứng với đầu bên trái và bên phải của dầm) và các tỉ số độ mảnh (5; 10; 20). Các kết quả thu được cho trong bảng 4.4 cho thấy độ chính xác của phương pháp được đưa ra, đặc biệt, trong trường hợp độ mảnh nhỏ (L/h = 5), trường hợp điển hình đối với dầm Timoshenko. Sai số chỉ xuất hiện khi vết nứt trong dầm xuất hiện tại các vị trí gần các điểm nút tần số, cụ thể 0.22; 0.5; 0.78. Đối với các dầm có độ mảnh lớn, độ sâu vết nứt xác định được là chính xác trong tất cả các trường hợp vết nứt khác nhau được đưa ra và sai số chỉ xảy ra đối với trường hợp các vết nứt đối xứng. Bảng 4.4. Xác định vị trí và chiều sâu vết nứt phụ thuộc vào tỉ số độ mảnh với dầm ngàm hai đầu có các vết nứt khác nhau. Vị trí thực của vết nứt L/h 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Độ sâu thực của vết nứt a/h = 30% 5 0.0 0.10 0.13 0.30 0.40 0.51 0.60 0.70 0.13 0.90 1.0 30% 30% 87% 30% 30% 73% 30% 30% 86% 30% 30% 10 0.0 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.30 0.20 0.90 0.0 30% 30% 30% 30% 30% 30% 30% 30% 30% 30% 30% 20 1.0 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 1.0 30% 30% 30% 30% 30% 30% 30% 30% 30% 30% 30% Độ sâu thực của vết nứt a/h = 20% 5 0.0 0.10 0.20 0.30 0.40 0.52 0.60 0.70 0.13 0.90 1.0
24. 22 20% 20% 20% 20% 20% 77% 20% 20% 78% 20% 20% 10 0.0 0.10 0.20 0.70 0.60 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0.0 20% 20% 20% 20% 20% 20% 20% 20% 20% 20% 20% 20 1.0 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 1.0 20% 20% 20% 20% 20% 20% 20% 20% 20% 20% 20% Độ sâu thực của vết nứt a/h = 10% 5 0.0 0.10 0.20 0.30 0.40 0.11 0.60 0.70 0.13 0.90 1.0 10% 10% 10% 10% 10% 13% 10% 10% 64% 10% 10% 10 0.0 0.90 0.80 0.70 0.60 0.50 0.60 0.70 0.80 0.10 0.0 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 20 1.0 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 1.0 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% Độ sâu thực của vết nứt a/h = 5% 5 0.0 0.10 0.13 0.30 0.40 0.11 0.60 0.70 0.13 0.90 0.0 5% 5% 1% 5% 5% 6% 5% 5% 1% 5% 5% 10 0.0 0.90 0.80 0.70 0.60 0.50 0.60 0.70 0.80 0.10 0.0 5% 5% 5% 5% 5% 5% 5% 5% 5% 5% 5% 20 1.0 0.90 0.20 0.30 0.40 0.50 0.40 0.30 0.20 0.90 1.0 5% 5% 5% 5% 5% 5% 5% 5% 5% 5% 5% Kết luận chƣơng 4 Kết quả số nhận được trong Chương này chủ yếu để minh họa và kiểm chứng các lý thuyết đã được trình bày trong Chương 2, từ các kết quả này chúng ta có thể đưa ra một số kết luận như sau: a. Phương pháp được đề xuất trong luận án này cho phép ta tính toán tần số và dạng dao động riêng của dầm FGM một cách đơn giản với độ chính xác tương đương với phương pháp ma trận độ cứng động. b. Nói chung, tần số riêng tăng cùng với tỷ số mô đun đàn hồi và giảm khi tỷ số khối lượng riêng tăng. Nhưng tốc độ tăng hoặc giảm của tần số theo các tỷ số nêu trên phụ thuộc nhiều vào số mũ n. Độ mảnh của dầm ít ảnh hưởng đến tần số riêng khi nó lớn hơn 20 (L/h > 20), nhưng nó có ảnh hưởng nhiều, đặc biệt là các tần số dao động dọc trục khi L/h < 10.
25. 23 c. Nghiên cứu các hàm đáp ứng tần số cho thấy, các tần số uốn chỉ xuất hiện ở hàm đáp ứng tần số uốn và tần số dọc trục xuất hiện ở hàm đáp ứng tần số dọc trục. Tuy nhiên, các hàm đáp ứng tần số chéo (đáp ứng ngang dưới tác dụng của tải trọng dọc hoặc đáp ứng dọc trục dưới tác dụng của tải trọng ngang) rất hữu ích trong nghiên cứu sự tương tác giữa các dạng dao động dọc trục và dao động uốn. d. So sánh kết quả nhận được về tần số uốn của dầm FGM có vết nứt với các kết quả đã biết cho thấy: mô hình hai lò xo của vết nứt cho ta kết quả không khác nhiều so với mô hình một lò xo xoắn (uốn) khi độ mảnh lớn tức dầm dạng Euler-Bernoulli. Như vậy, việc thêm vào lò xo dọc trục để mô tả vết nứt có ý nghĩa hơn đối với dầm ngắn (L/h 1 (Re > 1); độ mảnh (L/h) càng cao thì ảnh hưởng của vết nứt đến tần số càng yếu. Mặc dù, các tham số vật liệu có ảnh hưởng đáng kể đến tần số của dầm FGM bị nứt, nhưng vẫn tồn tại các điểm nút tần số. f. Thuật toán chẩn đoán vết nứt trong dầm FGM bằng tần số riêng được đề xuất trong luận án cho phép ta xác định chính xác cả về vị trí và độ sâu vết nứt trừ trường hợp nếu vết nứt gần với các điểm nút tần số. Trong trường hợp vết nứt xuất hiện gần với các điểm nút tần số thì có thể xác định ngay được từ sự khảo sát sự thay đổi của tần số đo. Như vậy, thuật toán chẩn đoán vết nứt nêu trên là đầy đủ để thực hiện việc chẩn đoán một vết nứt trong dầm FGM bằng tần số riêng. KẾT LUẬN CHUNG Trong luận án này, đã giải trọn vẹn các bài toán sau: 1). Dao động riêng của dầm FGM có tính đến vị trí thực của trục trung hòa; Đã xây dựng được biểu thức phương trình tần số tổng quát cho các điều kiện biên khác nhau và biểu thức của dạng riêng; Đã phân tích chi
26. 24 tiết ảnh hưởng của các tham số vật liệu đến các đặc trưng dao động của dầm. Đã xác định được các điểm nút tần số, khi vết nứt xuất hiện tại đó không làm thay đổi tần số. Các điểm nút tần số này hầu như không phụ thuộc vào các đặc trưng vật liệu. 2). Đã tìm được điều kiện để dao động dọc trục và dao động uốn trong dầm FGM hoàn toàn độc lập nhau. Từ đó có thể nghiên cứu các dạng dao động uốn và dọc trục tách rời nhau. Các dầm FGM thỏa mãn điều kiện không tương tác giữa dao động dọc trục và dao động uốn được gọi là dầm FGM tỷ lệ, bao hàm cả dầm đồng nhất cổ điển. 3). Đã thiết lập bài toán dao động riêng của dầm FGM có một vết nứt, sử dụng mô hình lò xo kép (dọc trục và xoay) cho vết nứt. Ở đây đã phân tích chi tiết ảnh hưởng của vết nứt cùng với các tham số vật liệu đến tần số riêng. 4). Đã thiết lập và giải bài toán chẩn đoán một vết nứt trong dầm FGM bằng 3 tần số riêng. Các phương trình chẩn đoán đã được thiết lập một cách tường minh. Do đó tính không chỉnh của bài toán ngược đã được khắc phục để nhận được kết quả chính xác cả về vị trí lẫn độ sâu của vết nứt. Tuy nhiên, do hạn chế về thời gian, còn nhiều vấn đề cần phải nghiên cứu tiếp, cụ thể là: Cần phải nghiên cứu kỹ sự tương tác giữa dao động dọc trục và dao động uốn phụ thuộc vào các đặc trưng vật liệu và nghiên cứu chi tiết hơn nữa lớp dầm FGM tỷ lệ; Bài toán dao động cưỡng bức của dầm FGM trong miền tần số, trong đó các tải trọng có thể là các kích động di động hay kích động tần số cao; Bài toán chẩn đoán đa vết nứt trong dầm FGM bằng tần số riêng hay các đặc trưng động lực học khác của dầm như dạng dao động riêng, hàm đáp ứng tần số.
27. DANH MỤC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ 1. Nguyễn Tiến Khiêm, Nguyễn Đình Kiên, Nguyễn Ngọc Huyên (2014). Lý thuyết dao động của dầm FGM trong miền tần số. Hội nghị Cơ học toàn quốc kỷ niệm 35 năm thành lập Viện Cơ học, Hà Nội, ngày 09 tháng 04 năm 2014, pp.93-98. 2. N. T. Khiem, N. N. Huyen (2015). On the neutral axis of functionally graded beams. Hội nghị Cơ học kỹ thuật toàn quốc, Đà Nẵng 2015, pp.164-169. 3. N. T. Khiem, N. N. Huyen (2016). A method for crack identification in functionally graded Timoshenko beam. Journal of Nondestructive Testing and Evaluation, Published online: 17 Oct 2016. DOI: 10.1080/10589759.2016.1226304. 4. Nguyen Ngoc Huyen, Nguyen Tien Khiem (2016). Uncoupled vibrations in functionally graded Timoshenko beam. Journal of Science and Technology, V. 54, No. 6, pp.785-796. 5. Nguyen Ngoc Huyen, Nguyen Tien Khiem. Frequency analysis of cracked functionally graded cantilever beam. Journal of Science and Technology (accepted to publish in V. 55, No 1, 2017). 6. N.N. Huyen, N.T. Khiem (2017). Modal analysis of functionally graded Timoshenko beam. Vietnam Journal of Mechanics, V. 39, No. 1, pp. 1-19. DOI:10.15625/0866-7136/7582. 7. N. T. Khiem, N. N. Huyen, N. T. Long (2017). Vibration of cracked Timoshenko beam made of functionally graded material. Proceeding of the 35th International modal analysis Conference, USA. Jan 30 – Feb 2, 2017 (to be published).