Phân tích kết cấu dầm FGM có mặt cắt ngang thay đổi dưới tác dụng của tải trọng di động

Nội dung tài liệu: Phân tích kết cấu dầm FGM có mặt cắt ngang thay đổi dưới tác dụng của tải trọng di động

1. VIỆN HÀN LÂM KHOA HÅC VÀ CÆNG NGHỆ VIỆT NAM HÅC VIỆN KHOA HÅC VÀ CÆNG NGHỆ L¶ Thị Hà PHÂN TÍCH KẾT CẤU DẦM FGM CÂ MẶT CẮT NGANG THAY ĐỔI DƯỚI TÁC DỤNG CỦA TẢI TRÅNG DI ĐỘNG Chuy¶n ngành: Cơ kỹ thuªt M¢ sè: 62 52 01 01 TÂM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT Hà Nëi - 2016
2. Luªn ¡n được thực hi»n t¤i Học vi»n Khoa học và Công ngh», Vi»n Hàn l¥m Khoa học và Công ngh» Vi»t Nam Người hướng d¨n khoa học TS. Nguy¹n Đình Ki¶n Ph£n bi»n 1: Ph£n bi»n 2: Ph£n bi»n 3: Luªn ¡n được b£o v» trước Hëi đồng đánh gi¡ luªn ¡n ti¸n sĩ c§p Học vi»n họp t¤i Học vi»n Khoa học và Công nghệ–18 Hoàng Quèc Vi»t – Hà Nëi. Vào hồi giờ phút ngày th¡ng n«m 2016 Có thº t¼m luªn ¡n t¤i: • Thư vi»n Quèc Gia Vi»t Nam • Thư vi»n Học vi»n Khoa học và Công ngh»
3. MÐ ĐẦU T½nh thời sự cõa đề tài luªn ¡n Cho tới thời điểm hi»n t¤i c¡c nghi¶n cùu v· d¦m có cơ t½nh bi¸n thi¶n FGM chịu t£i trọng di động mới ch¿ đưñc thực hi»n tr¶n d¦m có ti¸t di»n không đêi chịu mët t£i trọng di động và chuyºn động cõa t£i trọng được gi£ định là đều. Trong thực t¸ nhúng gi£ thi¸t này không ph£i khi nào cũng đúng và vi»c lo¤i bỏ c¡c gi£ thi¸t này là mët trong c¡c y¶u c¦u đặt ra. Nghi¶n cùu ùng xû động lực học cõa d¦m FGM có ti¸t di»n thay đổi, chịu nhi·u lực di động và xem x²t £nh hưởng cõa y¸u tè t«ng, gi£m tèc cõa lực di động tới đáp ùng động lực học cõa d¦m mà Luªn ¡n này đặt ra nh¬m mục đích gi£i quy¸t ph¦n nào c¡c h¤n ch¸ n¶u tr¶n. Th¶m vào đó, Luªn ¡n nh¬m ph¡t triºn công thùc ph¦n tû húu h¤n dùng trong ph¥n t½ch d¦m FGM nói chung và d¦m FGM chịu t£i trọng di đëng nói ri¶ng. Định hướng nghi¶n cùu 1. X¥y dựng hoặc lựa chọn c¡c hàm d¤ng th½ch hñp cho tøng lo¤i ph¦n tû d¦m kh¡c nhau. 2. Tr¶n cơ sở c¡c hàm d¤ng nhªn được s³ ti¸n hành thi¸t lªp c¡c biºu thùc cho ma trªn độ cùng, ma trªn khèi lượng và vec-tơ lực nút cho ph¦n tû d¦m FGM. 3. Lựa chọn thuªt to¡n ph¥n t½ch động lực học k¸t c§u th½ch hñp và ph¡t triºn chương tr¼nh t½nh to¡n sè. 4. Ti¸n hành ph¥n t½ch c¡c bài to¡n cụ thº và đánh gi¡ c¡c k¸t qu£ sè thu nhªn được. 1
4. 2 Đối tượng và ph¤m vi nghi¶n cùu 1. T£i trọng di động nghi¶n cùu trong luªn ¡n là lực tªp trung di động và lực điều háa di động. Như vªy, £nh hưởng qu¡n t½nh cõa t£i trọng di động không x²t tới trong Luªn ¡n này. 2. D¦m FGM có cơ t½nh bi¸n đổi theo chi·u cao hoặc cơ t½nh bi¸n đổi theo chi·u dọc chịu c¡c lực di đëng. B· rëng mặt c­t ngang d¦m được gi£ thi¸t thay đổi dọc theo trục d¦m. 3. D¦m FGM li¶n tục có cơ t½nh bi¸n đổi theo chi·u cao. Mặt c­t ngang cõa d¦m li¶n tục được gi£ định là không thay đổi. Phương ph¡p nghi¶n cùu Do nhúng phùc t¤p v· mặt to¡n học sinh ra tø t½nh không đồng nh§t cõa t½nh ch§t vªt li»u d¦m FGM và mặt c­t ngang cõa d¦m, phương ph¡p sè, cụ thº là phương ph¡p ph¦n tû húu h¤n đưñc lựa chọn trong luªn ¡n. C§u trúc luªn ¡n • Chương 1 tr¼nh bày têng quan t¼nh h¼nh nghi¶n cùu trong và ngoài nước v· k¸t c§u d¦m FGM. C¡c mục ti¶u ch½nh cõa luªn ¡n cũng được đề cªp tới trong chương này. • Chương 2 thi¸t lªp phương tr¼nh chuyºn động cõa d¦m Timoshenko tr¶n cơ sở nguy¶n lý Hamilton. C¡c phương tr¼nh cho d¦m Euler- Bernouli nhªn được như là trường hñp ri¶ng cõa d¦m Timoshenko. • Chương 3 tr¼nh bày chi ti¸t vi»c x¥y dựng c¡c hàm d¤ng cho d¦m Timoshenko. Biºu thùc cho ma trªn độ cùng, ma trªn khèi lượng và vec-tơ lực nút cõa ph¦n tû d¦m FGM có cơ t½nh bi¸n đổi theo chi·u cao và dọc được tr¼nh bày chi ti¸t. • C¡c k¸t qu£ sè nhªn được tø c¡c t½nh to¡n cõa Luªn ¡n được tr¼nh bày trong Chương 4.
5. Chương 1 TÊNG QUAN D¦m có cơ t½nh bi¸n thi¶n Bài to¡n d¦m FGM chịu t¡c dụng lực di động, nghi¶n cùu sớm nh§t là nhóm t¡c gi£ S¸im¸sekvà Kocat¨urk.N«m 2009, S¸im¸sekvà Kocat¨urkkh£o s¡t ph£n ùng động lực học cõa d¦m Bernoulli có cơ t½nh bi¸n đổi theo quy luªt sè mũ và sè e dưới t¡c dụng cõa lực điều háa tªp trung di động. N«m 2010, S¸im¸sekmở rëng nghi¶n cùu cõa m¼nh sang bài to¡n d¦m FGM chịu khèi lượng tªp trung di động. Trong c¡c bài b¡o công bè n«m 2009 và 2010, c¡c t½nh ch§t cơ-lý cõa vªt li»u d¦m được gi£ định bi¸n thi¶n theo chi·u dày d¦m. Tr¶n cơ sở lý thuy¸t d¦m Euler-Bernoulli, S¸im¸sekvà cëng sự n«m 2012 x¡c định t¦n sè dao động ri¶ng và c¡c đặc trưng động lực học cõa d¦m FGM có cơ t½nh bi¸n đổi dọc trục chịu t¡c dụng cõa lực điều háa di động. Nguy¹n Đình Ki¶n, Nguy¹n Đình Ki¶n và Gan công bè 2014 x¥y dựng công thùc ph¦n tû húu h¤n để nghi¶n cùu d¦m thon FGM có chuyºn vị lớn, dưới t¡c động cõa lực tªp trung. Ảnh hưởng cõa vị tr½ mặt trung háa đưñc Nguy¹n Đình Ki¶n và cëng sự xem x²t khi x¥y dựng ph¦n tû húu h¤n dùng trong ph¥n t½ch bài to¡n phi tuy¸n. Mục ti¶u cõa luªn ¡n Mục ti¶u thù nh§t X¥y dựng c¡c biºu thùc cho ma trªn độ cùng và ma trªn khèi lượng cõa d¦m FGM có mặt c­t ngang thay đổi. 3
6. 4 Mục ti¶u thù hai X¥y dựng vec-tơ t£i trọng nút cho trường hñp d¦m chịu mët hoặc nhi·u lực di động. Ảnh hưởng cõa sự t«ng tèc và gi£m tèc cõa c¡c t£i trọng di động cũng được xem x²t trong Luªn ¡n. Mục ti¶u thù ba Ph¡t triºn chương tr¼nh t½nh to¡n sè để ¡p dụng ph¥n t½ch c¡c bài to¡n cụ thº. Mục ti¶u thù tư T½nh to¡n c¡c đặc trưng động lực học như t¦n sè dao động ri¶ng, độ vãng t¤i giúa d¦m, sự ph¥n bè ùng su§t theo chi·u dày d¦m khi d¦m chịu t¡c dụng cõa mët sè lo¤i lực di động kh¡c nhau. Th£o luªn và đưa ra c¡c nhªn x²t v· k¸t qõa sè nhªn được. Luªn ¡n có mët sè điểm mới dưới đây: • X¥y dựng được c¡c công thùc ph¦n tû húu h¤n cho ph¦n tû d¦m Timoshenko và ph¦n tû d¦m Bernoulli làm tø vªt li»u có có t½nh bi¸n đổi ngang và cơ t½nh bi¸n đổi dọc tr¶n cơ sở c¡c hàm nëi suy ch½nh x¡c. Ảnh hưởng cõa vị tr½ mặt trung háa được x²t tới trong công thùc ph¦n tû húu h¤n cõa d¦m có cơ t½nh bi¸n đổi ngang. • Ph¡t triºn thuªt to¡n và chương tr¼nh t½nh to¡n sè để nghi¶n cùu ùng xû động lực học cõa d¦m FGM có mặt c­t ngang thay đổi chịu t¡c dụng cõa nhi·u lực di động. Thuªt to¡n cũng cho ph²p nghi¶n cùu đáp ùng động lực học cõa d¦m chịu lực di động t«ng tèc và gi£m tèc. • Đã kh£o s¡t £nh hưởng cõa c¡c tham sè vªt li»u, tham sè thi¸t di»n và tham sè lực di động tới c¡c đặc trưng động lực học cõa d¦m. Đã đưa ra đánh gi¡ £nh hưởng cõa vị tr½ mặt trung háa tới đáp ùng động lực học cõa d¦m FGM.
7. Chương 2 MÆ HÌNH DẦM FGM 2.1. T½nh ch§t vªt li»u FGM Luªn ¡n này sû dụng mô h¼nh Voigt để đánh gi¡ c¡c t½nh ch§t hi»u dụng cõa d¦m FGM. 2.1.1. D¦m có cơ t½nh bi¸n đổi theo chi·u cao T½nh ch§t hi»u dụng P (ch¯ng h¤n mô đun Young, mô đun trượt, mªt độ khèi ) được đánh gi¡ theo mô h¼nh cõa Voigt có d¤ng z 1n P(z) = P V + P V = (P − P ) + + P (2.1) c c m m c m h 2 m Trong đó ch¿ sè mũ n là tham sè vªt li»u; z là tham sè tọa độ theo chi·u cao cõa d¦m; Pc và Pm tương ùng là t½nh ch§t cõa vªt li»u gèm và kim lo¤i. 2.1.2. D¦m có cơ t½nh bi¸n đổi dọc C¡c t½nh ch§t hi»u dụng cho d¦m có cơ t½nh bi¸n đổi dọc đánh gi¡ theo mô h¼nh Voigt có d¤ng  x n P(x) = (P − P ) 1 − + P (2.2) c m L m 2.1.3. Mặt trung háa Mô đun đàn hồi cõa d¦m có cơ t½nh bi¸n đổi theo chi·u cao cho bởi công thùc (2.1) không đối xùng qua mặt giúa cõa d¦m. Mặt trung háa cõa d¦m, 5
8. 6 0.25 0.2 0.15 / h 0 h 0.1 E /E = 3 c m 0.05 E /E = 5 c m E /E = 10 c m 0 0 2 4 6 8 10 n H¼nh 2.1: Ảnh hưởng cõa tham sè vªt li»u n đối với vị tr½ cõa mặt trung háa v¼ th¸ không trùng với mặt giúa cõa d¦m. Kho£ng c¡ch tø mặt trung háa tới mặt giúa, ký hi»u h0 được x¡c định theo công thùc: R h=2 E(z)zdz hn(E − E ) h = −h=2 = c m (2.6) 0 h=2 R 2(n + 2)(Ec + nEm) −h=2 E(z)dz Trong (2.6), Ec và Em tương ùng là mô đun Young cõa gèm và kim lo¤i. 2.2. D¦m FGM có mặt c­t ngang thay đổi chịu lực di động H¼nh 2.2 minh họa d¦m FGM trong h» tọa độ đề c¡c 0xyz. D¦m có chi·u dài L, chi·u cao h = const, chi·u rëng thay đổi theo trục d¦m b = b(x), chịu t¡c dụng cõa Nf lực P1;P2; :::; PNf di động tø đầu tr¡i sang đầu ph£i cõa d¦m. Tr¶n H¼nh 2.2, s1; s2; :::; sNf tương ùng là kho£ng c¡ch tø c¡c lực P1;P2; :::; PNf tới nút tr¡i d¦m; h0 là kho£ng c¡ch tø mặt trung háa đến mặt giúa d¦m; d là kho£ng c¡ch giúa hai lực li¶n ti¸p nhau (được gi£ thi¸t là như nhau trong luªn ¡n này). Di»n t½ch A(x) và mômen qu¡n t½nh bªc
9. 7 H¼nh 2.2: D¦m FGM có mặt c­t ngang thay đổi chịu lực di động hai I(x) cõa mặt c­t ngang d¦m được gi£ thi¸t thay đổi dưới hai d¤ng sau  x 1 D¤ng A : A(x) = A 1 − α − 0 L 2  x 1 I(x) = I 1 − α − 0 L 2 " 2# (2.7)  x 1 D¤ng B : A(x) = A 1 − α − 0 L 2 " #  x 12 I(x) = I 1 − α − 0 L 2 trong đó A0 và I0 tương ùng là di»n t½ch và mô men qu¡n t½nh cõa mặt c­t ngang ở giúa d¦m; α là tham sè x¡c định sự thay đổi di»n t½ch mặt c­t ngang và là tham sè ti¸t di»n.
10. 8 2.3. N«ng lượng d¦m FGM 2.3.1. N«ng lượng bi¸n d¤ng đàn hồi N«ng lượng đàn hồi cõa d¦m Timoshenko làm tø vªt li»u FGM có cơ t½nh bi¸n đổi theo chi·u cao được cho bởi 1 Z U = (σxx + τxzγxz)dV 2 V Z L 1  2 2 2 = A11(x)u;x − 2A12(x)u;xθ;x + A22(x)θ;x + A33(x)(w;x − θ) dx 2 0 (2.11) Trong (2.11), U là n«ng lượng bi¸n d¤ng đàn hồi, V là thº t½ch cõa d¦m. C¡c đại lượng A11, A12, A22, A33 tương ùng là c¡c độ cùng dọc trục, độ cùng tương hé dọc trục-uốn, độ cùng chèng uèn và độ cùng chèng trượt. Z Z A11 = E(z)dA; A12 = E(z)(z − h0)dA A(x) A(x) Z Z (2.12) 2 A22 = E(z)(z − h0) dA; A33 = G(z)dA A(x) A(x) d¹ dàng kiºm chùng r¬ng A12 định nghĩa bởi phương tr¼nh (2.12) b¬ng không khi x²t tới £nh hưởng vị tr½ cõa mặt trung háa. Thay c¡c mô đun đàn hồi E(z) và G(z) tø (2.1) vào (2.12) ta nhªn được d¤ng tường minh cho Aij Z 1 n h A11 = b(x) [(Ec − Em)t + Em] hdt = b(x) (Ec + nEm) 0 n + 1  h(E − E ) h  A = b(x)h c m − 0 (E + nE ) 12 2(n + 1)(n + 2) n + 1 c m 3E (n2 + n + 2) + E (n3 + 3n2 + 8n) A = b(x)h3 c m 22 12(n + 3)(n + 2)(n + 1)  n(E − E ) h  + h b(x)h −h c m + 0 (E + nE ) 0 (n + 1)(n + 2) n + 1 c m Z 1 n h A33 = b(x) [(Gc − Gm)t + Gm] hdt = b(x) (Gc + nGm) 0 n + 1 (2.15, 2.17, 2.18) N«ng lượng bi¸n d¤ng đàn hồi cho d¦m Timoshenko có cơ t½nh bi¸n đổi
11. 9 dọc cho bởi công thùc Z L 1 h 2 2 2i U = E(x)A(x)u;x + E(x)I(x)θ;x + G(x)A(x)(w;x − θ) dx 2 0 (2.20) 2.3.2. Động n«ng Động n«ng cho d¦m có d¤ng 1 Z T = ρ(z)(u _ 2 +u _ 2 +u _ 2)dV 2 1 2 3 V (2.21) 1 Z L h i 2 2 _ _2 = I11(_u +w _ ) − 2I12u_θ + I22θ dx 2 0 với ρ(z) là mªt độ khèi lượng bi¸n đêi theo trục z; I11;I12;I22 là c¡c mômen khèi lượng Z I11 = ρ(z)dA A(x) Z I12 = ρ(z)(z − h0)dA (2.22) A(x) Z 2 I22 = ρ(z)(z − h0) dA A(x) Tương tự như độ cùng, ta có thº d¹ dàng vi¸t c¡c mô men khèi lưñng dưới d¤ng tường minh. h I = b(x) (ρ + nρ ) 11 n + 1 c m  (ρ − ρ ) h  I = b(x)h h c m − 0 (ρ + nρ ) 12 2(n + 1)(n + 2) n + 1 c m (2.23) 3ρ (n2 + n + 2) + ρ (n3 + 3n2 + 8n) I = b(x)h3 c m 22 12(n + 3)(n + 2)(n + 1)  n(ρ − ρ ) h  + h b(x)h −h c m + 0 (ρ + nρ ) 0 (n + 1)(n + 2) n + 1 c m Với d¦m có cơ t½nh bi¸n đổi dọc, động n«ng cõa d¦m được vi¸t dưới d¤ng 1 Z L h i T = ρ(x)A(x)(u _ 2 +w _ 2) + ρ(x)I(x)θ_2 dx (2.24) 2 0
12. 10 2.3.3. Th¸ n«ng cõa lực di động Th¸ n«ng cõa c¡c lực di động Pi(i = 1::Nf ) có d¤ng Nf X V = − Piw(x; t)δ(xP i − si(t)) (2.26) i=1 trong đó, δ(:) là hàm delta Dirac; w(x; t) là độ vãng cõa d¦m t¤i vị tr½ lực t¡c dụng, xP i là tham sè tọa độ t½nh tø đầu tr¡i d¦m đến vị tr½ lực Pi. 2.4. Phương tr¼nh chuyºn động 2.4.1. Vªt li»u có cơ t½nh bi¸n đổi theo chi·u cao Phương tr¼nh vi ph¥n chuyºn động cõa d¦m Timoshenko FGM có cơ t½nh bi¸n đổi theo chi·u cao chịu Nf lực di động dưới d¤ng 8 I u¨ − I θ¨ − (A u ) + (A θ ) = 0 > 11 12 11 ;x ;x 12 ;x ;x > ¨ :I22θ − I12u¨ + (A12u;x);x − (A22θ;x);x − A33(w;x − θ) = 0 và c¡c điều ki»n bi¶n v· lực và mô men như sau 8 <A11u;x − A12θ;x = N;A22θ;x − A12ux = M t¤i x = 0 và x = L : A33 (w;x − θ) = Q t¤i x = 0 và x = L (2.36) trong đó N, M và Q là c¡c lực dọc trục, mô-men và lực c­t cho trước t¤i c¡c đầu d¦m. Với đầu tựa gi£n đơn ( u(0; t) = 0 (2.37) w(0; t) = w(L; t) = 0 Vi»c giú l¤i độ cùng A12 nh¬m đánh gi¡ £nh hưởng cõa vị tr½ mặt trung háa tới đáp ùng động lực học cõa d¦m.
13. 11 2.4.2. Vªt li»u có cơ t½nh bi¸n đổi dọc Phương tr¼nh chuyºn đëng cõa d¦m Timoshenko có cơ t½nh bi¸n đổi dọc dưới d¤ng 8 ρ(x)A(x)¨u − [E(x)A(x)u ] = 0 > ;x ;x > ¨ :ρ(x)I(x)θ − [E(x)I(x)θ;x];x − G(x)A(x)(w;x − θ) = 0 (2.41) và điều ki»n bi¶n cho lực và mô-men có d¤ng 8 <E(x)A(x)u;x = N;E(x)I(x)θ;x = M t¤i x = 0 và x = L (2.42) : G(x)A(x)(w;x − θ) = Q t¤i x = 0 và x = L 2.5. Gi£ thi¸t Euler-Bernoulli Do góc quay và bi¸n d¤ng ngang không cán độc lªp như trong lý thuy¸t d¦m Timoshenko, sè lưñng phương tr¼nh trong h» phương tr¼nh vi ph¥n chuyºn động cõa d¦m gi£m bớt mët. 2.6. K¸t luªn chương 2 Mët sè k¸t luªn cõa chương 2 có thº tóm lược như sau: 1. Với d¦m có cơ t½nh bi¸n đổi theo chi·u cao, do t½nh không đổi xùng cõa vªt li»u đối với mặt giúa d¦m, vị tr½ trục trung háa không trùng với mặt giúa, mặt trung háa thay đổi theo ph¥n bè vªt li»u. 2. Vị tr½ mặt trung háa phụ thuëc vào tham sè vªt li»u và t¿ sè cõa mô đun đàn hồi hai vªt li»u c§u t¤o n¶n d¦m 3. V§n đề mặt c­t ngang thay đêi được thº hi»n rã qua c¡c h» sè trong c¡c phương tr¼nh chuyºn đëng cõa d¦m, c¡c h» sè này là hàm tọa độ x, v¼ th¸ nghi»m cõa nó khó có thº gi£i b¬ng phương ph¡p gi£i t½ch.
14. Chương 3 MÆ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN VÀ THUẬT TOÁN SÈ 3.1. Chuyºn vị nút và hàm d¤ng 3.1.1. Hàm d¤ng cho d¦m Timoshenko Luªn ¡n s³ ti¸n hành x¥y dựng hàm d¤ng cho ph¦n tû d¦m làm tø vªt li»u FGM có cơ t½nh bi¸n đổi theo chi·u cao. Trong trường hñp mặt c­t ngang cõa d¦m không thay đổi, tø phương tr¼nh (2.35), phương tr¼nh vi ph¥n c¥n b¬ng tĩnh cho ph¦n tû d¦m Timoshenko làm tø vªt li»u FGM có cơ t½nh bi¸n đổi theo chi·u cao có d¤ng ( A u − A θ = 0; A (w − θ ) = 0 11 ;xx 12 ;xx 33 ;xx ;x (3.4) A12u;xx − A22θ;xx − A33(w;x − θ) = 0 sû dụng l»nh dsolve trong Maple ta d¹ dàng thu được nghi»m cõa phương tr¼nh (3.4) và cho c¡c hàm d¤ng. Sû dụng c¡c ký hi»u 2 A12 A22 A12 αa = ; β = ; λ = (3.6, 3.12) A11 A33 A11A33 ta nhªn được c¡c hàm d¤ng cho chuyºn vị dọc trục cõa d¦m 8 x2 x x2 x > 6αa − 3αa − > x l2 l l2 l >Nu1 = − + 1; Nu2 = ; Nu3 = 6αa − 3αa − > x l2 l l2 l >N = N = − ; N = : u4 l u5 l(1 + φ) u6 l(1 + φ) (3.13) 12
15. 13 Trong (3.13), n¸u d¦m làm tø mët vªt li»u đồng nh§t hoặc khi x²t đến £nh hưởng cõa mặt trung háa th¼ A12 = 0 do đó αa = 0, v¼ th¸ c¡c hàm d¤ng Nu2;Nu3;Nu5;Nu6 b¬ng 0. Tương tự như u(x), ta có thº vi¸t chuyºn vị ngang w(x) dưới d¤ng 8 1  x3 x2 x  >Nw1 = Nw4 = 0; Nw2 = 2 − 3 − φ + 1 + φ > 1 + φ l3 l2 l >  3 2  > l x 1 x 1 x >Nw3 = − (2 + φ) + (1 + φ) Nw5 = − 2 − 3 − φ > 1 + φ l3 l2 l > > l x3 1 x2 1 x >N = − (1 − φ) − φ) : w6 1 + φ l3 2 l2 2 l Cuèi cùng góc xoay θ(x) được biºu di¹n dưới d¤ng sau đây 8 6 x2 x >N = N = 0; N = − > θ1 θ4 θ2 2 > l(1 + φ) l l 1 + φ l l >  2   2  > 6 x x l x x >Nθ5 = − − ; Nθ6 = 3 − (2 − φ) : l(1 + φ) l2 l 1 + φ l2 l Nhªn x²t: c¡c hàm d¤ng cho w(x) và θ(x) cho bởi c¡c phương tr¼nh (3.16) và (3.18) có d¤ng gièng h»t hàm d¤ng do Kosmatka, ngo¤i trø định nghĩa tham sè bi¸n d¤ng trượt φ. Hàm d¤ng cho bởi c¡c phương tr¼nh (3.13), (3.16) và (3.18) được sû dụng trong trường hñp d¦m có mặt c­t ngang không đổi. 3.2. Ma trªn độ cùng 3.2.1. D¦m có cơ t½nh bi¸n đổi theo chi·u cao N«ng lưñng bi¸n d¤ng đàn hồi cho mët ph¦n tû d¦m Timoshenko FGM có cơ t½nh bi¸n đổi theo chi·u cao và có mặt c­t ngang thay đổi theo trục d¦m có d¤ng 1 1 U = dT (k + k + k + k )d = dT k d (3.21) e 2 aa ab bb ss 2
16. 14 Trong đó k = kaa + kab + kbb + kss là ma trªn độ cùng ph¦n tû, và Z l Z l T T kaa = Nu;xA11(x)Nu;xdx; kab = − Nu;xA12(x)Nθ;xdx 0 0 Z l Z l T T kbb = Nθ;xA22(x)Nθ;xdx; kss = (Nw;x − Nθ) A33(x)(Nw;x − Nθ)dx 0 0 (3.23) tương ùng là c¡c ma trªn độ cùng ph¦n tû sinh ra tø bi¸n d¤ng dọc trục, tương hé giúa bi¸n d¤ng dọc trục và uèn, bi¸n d¤ng uèn và bi¸n d¤ng trượt. 3.2.2. D¦m có cơ t½nh bi¸n đêi dọc Ma trªn độ cùng cho ph¦n tû d¦m Timoshenko có cơ t½nh bi¸n đổi dọc có d¤ng 1 1 U = dT (k + k + k ) d = dT kd (3.24) e 2 aa bb ss 2 Trong đó k = kaa + kbb + kss là ma trªn độ cùng ph¦n tû và Z l Z l T T kaa = Nu;xE(x)A(x)Nu;xdx; kbb = Nθ;xE(x)I(x)Nθ;xdx 0 0 (3.26) Z l T kss = (Nw;x − Nθ) G(x)A(x)(Nw;x − Nθ)dx 0 3.3. Ma trªn khèi lượng 3.3.1. D¦m có cơ t½nh bi¸n đổi theo chi·u cao Ma trªn khèi lượng cho d¦m Timoshenko FGM có cơ t½nh bi¸n đêi theo chi·u cao có d¤ng 1 1 T = d_ T (m + m + m + m )d_ = d_ T m d_ (3.27) e 2 uu ww uθ θθ 2 Trong đó m = muu + mww + muθ + mθθ là ma trªn khèi lượng nh§t qu¡n cõa ph¦n tû, và Z l Z l T T muu = Nu I11(x)Nudx; mww = NwI11(x)Nwdx 0 0 (3.29) Z l Z l T T muθ = − Nu I12(x)Nθdx; mθθ = Nθ I22(x)Nθdx 0 0
17. 15 tương ùng là c¡c ma trªn khèi lượng nh§t qu¡n sinh ra tø chuyºn dịch theo phương dọc trục, phương ngang, tương hé giúa chuyºn vị dọc trục và quay cõa mặt c­t ngang, sự quay cõa mặt c­t ngang. 3.3.2. D¦m có cơ t½nh bi¸n đổi dọc Động n«ng cho ph¦n tû d¦m Timoshenko với chi·u dài l, có cơ t½nh bi¸n đổi dọc có d¤ng 1 1 T = d_ T (m + m + m )d_ = d_ T md_ (3.30) e 2 uu ww θθ 2 trong đó m = muu +mww +mθθ là ma trªn khèi lượng nh§t qu¡n cõa ph¦n tû và Z l Z l T T muu = Nu ρ(x)A(x)Nwdx; mww = Nwρ(x)A(x)Nwdx 0 0 (3.32) Z l T mθθ = Nθ ρ(x)I(x)Nθdx 0 3.4. Lý thuy¸t d¦m Euler-Bernoulli Tương tự như d¦m Timoshenko, ta cũng có thº x¥y dựng c¡c hàm d¤ng cho ph¦n tû d¦m Euler-Bernoulli FGM có cơ t½nh bi¸n đổi theo chi·u cao. H» phương tr¼nh c¥n b¬ng cõa ph¦n tû d¦m Euler-Bernoulli nhªn được tø phương tr¼nh chuyºn động có d¤ng ( A u − A w = 0 11 ;xx 12 ;xxx (3.33) A12u;xxx − A22w;xxxx = 0 Kh¡c với d¦m Timoshenko, phương tr¼nh (3.33) chùa đạo hàm c§p bèn cõa chuyºn vị ngang w(x). Sû dụng l»nh 'dsolve' trong Maple ta nhªn được: Phương tr¼nh tr¶n cho ta c¡c hàm d¤ng cõa chuyºn vị dọc trục như sau 8 x 6α x x  3α x2 3α x >N = 1 − ; N = a − 1 N = a − a Nu4 = ; Nu5 = + ; Nu6 = − l l3 l2 l2 l Chuyºn vị theo phương ngang w cho ta c¡c hàm d¤ng cho chuyºn vị theo phương ngang ch½nh là c¡c hàm Hermite. Nhªn x²t:
18. 16 - Trong trường hñp t½nh tới £nh hưởng cõa vị tr½ mặt trung háa hoặc vªt li»u d¦m là thu¦n nh§t th¼ A12 = 0, do đó αa = 0. V¼ th¸ c¡c hàm d¤ng cho chuyºn vị dọc trục trong biºu thùc (3.40) ch¿ cán l¤i hai hàm tuy¸n t½nh Nu1 và Nu2. - C¡c hàm d¤ng cho chuyºn vị ngang cõa d¦m ch¿ là c¡c hàm Hermite, không chùa c¡c thông tin v· h¼nh học và vªt li»u ph¦n tû. Điều này có thº th§y được tø phương tr¼nh c¥n b¬ng (3.33): chuyºn vị dọc trục u(x) ch¿ là hàm bªc hai cõa x và v¼ th¸ phương tr¼nh thù hai cõa (3.33) s³ có d¤ng gi£n đơn w;xxxx = 0. 3.5. Vec-tơ lực nút Với c¡c hàm nëi suy, ta có thº vi¸t th¸ n«ng cõa c¡c lực này dưới d¤ng
    Ve = − P1Nwjx1 + P2Nwjx2 + ::: + Pne Nwjxne d (3.51) T trong đó Nwjxi (i = 1::ne) là gi¡ trị cõa ma trªn c¡c hàm d¤ng cõa chuyºn vị ngang đánh gi¡ t¤i vị tr½ cõa lực Pi, tùc là ma trªn Nw được đánh gi¡ với x = xi là hoành độ cõa c¡c lực Pi t½nh nút tr¡i ph¦n tû. 3.6. Phương tr¼nh ph¦n tû húu h¤n 3.7. Thuªt to¡n sè V§n đề mặt c­t ngang thay đổi Mët trong nhúng khó kh«n trong vi»c sû dụng ph¦n m·m Maple để t½nh c¡c ma trªn độ cùng và ma trªn khèi lượng là vi»c xû lý biºu thùc gi¡ trị tuy»t đối trong biºu thùc to¡n học mô t£ sự thay đổi mặt c­t ngang lo¤i A theo công thùc  x 1 A(x) = A 1 − α − 0 L 2 (3.70)  x 1 I(x) = I 1 − α − 0 L 2
19. 17 Maple không hiºu d§u gi¡ trị tuy»t đối và v¼ th¸ không thº thực hi»n vi»c t½nh c¡c t½ch ph¥n t½nh công thùc ph¦n tû. Để vượt qua khó kh«n này, Luªn ¡n đưa vào tham sè `sALP' dùng để ch¿ d§u cõa α, tùc là nó được định nghĩa như sau ( α n¸u 0 ≤ x ≤ L sALP = 2 (3.71) L −α n¸u 2 ≤ x ≤ L Thuªt to¡n cho vec-tơ lực nút Vec-tơ lực nút F nhªn được b¬ng c¡ch nèi gh²p vec-tơ lực nút ph¦n tû fe trong Mục 3.5 gồm c¡c sè h¤ng b¬ng không ngo¤i trø c¡c sè h¤ng li¶n quan tới ph¦n tû tr¶n đó có lực di động, tùc là n oT F = 0 0 0::: P NT j 0:::0 P NT j 0:::0 P NT j 0:::0 0 0 (3.1) Nf w xNf i w xi 1 w x1 trong đó x1; :::xi; ::: xNf tương ùng là hoành đë cõa c¡c lực P1; :::Pi; :::; PNf t½nh tø nút tr¡i cõa ph¦n tû tr¶n đó có c¡c lực này. 3.8. K¸t luªn chương 3 1. X¥y dựng c¡c hàm d¤ng cho d¦m Timoshenko FGM và d¦m Bernoulli FGM có mặt c­t ngang không đêi 2. X¥y dựng được biºu thùc cho ma trªn độ cùng và ma trªn khèi lượng cho d¦m có cơ t½nh bi¸n đổi theo chi·u cao và cơ t½nh bi¸n đổi dọc. 3. Vi»c xû lý d¦m có mặt c­t ngang thay đổi theo chi·u rëng cõa d¦m FGM có cơ t½nh bi¸n đổi b¬ng gi£i t½ch r§t phùc t¤p nhưng với ph¦n m·m Maple đã giúp t¡c gi£m nhẹ bớt sự phùc t¤p trong ph¦n xû lý mặt c­t ngang d¦m bi¸n đêi. 4. Dưới sự hé trñ cõa ph¦n m·m Maple và Matlab th¼ vi»c xû lý vec tơ lực nút cho mët ph¦n tû và cho toàn bë d¦m cũng như vi»c t½nh to¡n đáp ùng động lực học cho d¦m trở l¶n nhẹ nhàng hơn.
20. Chương 4 KẾT QUẢ SÈ VÀ THẢO LUẬN 4.1. Tham sè h¼nh học và vªt li»u C¡c t½nh to¡n được thực hi»n cho d¦m FGM được t¤o tø th²p không g¿ SUS304 và ôxit nhôm Al2O3. Để nghi¶n cùu £nh hưởng cõa bi¸n d¤ng trượt, Luªn ¡n ti¸n hành t½nh to¡n cho hai gi¡ trị kh¡c nhau cõa tỷ l» giúa chi·u dài và chi·u cao d¦m L=h = 20 m và L=h = 5 m, b = 0:5 m. Tham sè cho c¡c vªt li»u thành ph¦n cõa FGM như sau 3 • SUS304 (pha kim lo¤i): Em = 210 GPa, ρ = 7800 kg/m , νm = 0:3. 3 • Al2O3 (pha gèm): Ec = 390 GPa, ρ = 3960 kg/m , νc = 0:3. Để k¸t qõa sè có t½nh têng qu¡t, tương tự như với d¦m làm tø vªt li»u thu¦n nh§t, ta đưa vào c¡c tham sè không thù nguy¶n đặc trưng cho độ vãng lớn nh§t t¤i giúa d¦m và tham sè tèc độ cõa lực di động 4.2. Kiºm nghi»m ph¦n tû và chương tr¼nh sè B£ng 4.8 so s¡nh k¸t qu£ t½nh tham sè độ vãng động lực học lớn nh§t max(fD) và vªn tèc tương ùng cõa d¦m FGM có cơ t½nh bi¸n đổi dọc và mặt c­t ngang không thay đổi với k¸t qu£ sè cõa S¸im¸sekvà cëng sự [99]. K¸t qu£ sè li»t k¶ trong B£ng 4.8 được t½nh cho d¦m FGM làm tø SUS304 và Al2O3 với chi·u rëng b = 0:9 m và chi·u cao h = 0:5 m. K¸t qu£ sè nhªn được trong Luªn ¡n tr¶n cơ sở ph¦n tû d¦m Timoshenko, như th§y tø B£ng 4.8, hoàn toàn phù hñp với k¸t qu£ sè cõa S¸im¸sekvà cëng sự [99]. 18
21. 19 B£ng 4.8: Gi¡ trị cực đại cõa tham sè độ vãng và vªn tèc tương ùng cõa d¦m FGM có cơ t½nh bi¸n đổi dọc chịu mët lực di động (α = 0; L=h = 20) max(fD) v (m/s) n Luªn ¡n Tài li»u [99] Luªn ¡n Tài li»u [99] 0.3 1.0195 1.01947 219 220 1 1.2064 1.20435 178 179 3 1.5146 1.51669 144 144 SUS304 1.7386 1.73247 132 132 4.3. D¦m có cơ t½nh bi¸n đêi theo chi·u cao 4.3.1. Ảnh hưởng cõa tham sè vªt li»u H¼nh 4.2 thº hi»n mèi li¶n h» giúa độ vãng chu©n hóa t¤i giúa d¦m và thời gian chu©n hóa cõa d¦m A với α = 0:5 chịu t¡c dụng cõa ba lực di động cho hai gi¡ trị cõa tham sè vªn tèc fv = 1=8 và fv = 1=4, và c¡c gi¡ trị kh¡c nhau cõa ch¿ sè mũ n. 2.5 2.5 (a) f =1/8 (b) f =1/4 v v 2 2 1.5 1.5 0 0 1 1 w(L/2,t)/w w(L/2,t)/w 0.5 0.5 n=0.2 n=0.2 n=0.5 0 0 n=0.5 n=2 n=2 n=5 n=5 −0.5 −0.5 0 0.5 1 1.5 0 0.5 1 1.5 t/∆T t/∆T H¼nh 4.2: Mèi li¶n h» giúa độ vãng t¤i giúa d¦m và thời gian cõa d¦m A chịu ba lực di động (α = 0:5; d = L=4) Độ vãng cõa d¦m FGM, như ta th§y tø H¼nh 4.2, chịu £nh hưởng m¤nh bởi ch¿ sè mũ n và tèc độ cõa lực di động. Gi¡ trị cực đại cõa độ vãng t«ng
22. 20 d¦n khi ch¿ sè mũ n t«ng, b§t kº gi¡ trị cõa vªn tèc lực di động. Sự t«ng d¦n gi¡ trị cực đại cõa đë vãng d¦m khi t«ng n có thº được gi£i th½ch bởi sự suy gi£m độ cùng cõa d¦m như nói tới ở tr¶n. 4.3.2. Ảnh hưởng cõa tham sè lực di động 4 4 (a) α=0.5 (b) α=1 3.5 3.5 3 3 2.5 2.5 D D f f 2 2 1.5 1.5 1 d=L/8 1 d=L/8 d=L/4 d=L/4 d=L/2 d=L/2 0.5 0.5 0 0.5 1 1.5 2 0 0.5 1 1.5 2 f f v v H¼nh 4.6: Ảnh hưởng cõa kho£ng c¡ch giúa c¡c lực tới mèi quan h» giúa tham sè độ vãng và tham sè vªn tèc cõa d¦m A chịu ba lực di động (n = 0:5) Kho£ng c¡ch d giúa c¡c lực di động, như ta th§y tø H¼nh 4.6, đóng vai trá quan trọng tới gi¡ trị cõa tham sè độ vãng fD cõa d¦m FGM chịu nhi·u lực di động. Với mọi gi¡ trị cõa tham sè vªn tèc lực di đëng fv và tham sè mặt c­t ngang α, tham sè đë vãng fD t«ng rã r»t khi kho£ng c¡ch giúa c¡c lực nhỏ đi. Tham sè ti¸t di»n α làm thay đổi gi¡ trị cõa tham sè độ vãng fD nhưng h¦u như không làm thay đổi mèi quan h» giúa fD và fv. 4.3.3. Ảnh hưởng cõa d¤ng mặt c­t ngang H¼nh 4.11 minh họa £nh hưởng cõa d¤ng chuyºn động và tỷ sè L=h tới mèi li¶n h» giúa gi¡ trị lớn nh§t cõa tham sè ti¸t di»n và tham sè vªn tèc cho d¦m với c£ hai lo¤i mặt c­t ngang.
23. 21 5 5 A, n=5 A, n=5 (b) d=L/4 B, n=5 (a) d=L/5 B, n=5 4.5 A, n=1 4.5 A, n=1 B, n=1 B, n=1 A, n=0.2 A, n=0.2 4 B, n=0.2 4 B, n=0.2 ) ) D D 3.5 3.5 max(f max(f 3 3 2.5 2.5 2 2 0 0.4 0.8 1.2 1.6 0 0.4 0.8 1.2 1.6 α α H¼nh 4.11: Ảnh hưởng cõa tham sè ti¸t di»n đến gi¡ trị lớn nh§t cõa tham sè độ vãng cõa d¦m có cơ t½nh bi¸n đổi ngang chịu ba lực di động 2.2 2.2 A, a = 0 A, a = 0 (L = 5) (L = 20) A, a > 0 A, a > 0 2 A, a 0 B, a > 0 B, a < 0 B, a < 0 ) 1.8 1.8 ) D D max(f max (f 1.6 1.6 1.4 1.4 1.2 1.2 0 0.4 0.8 1.2 1.6 0 0.4 0.8 1.2 1.6 α α H¼nh 4.15: Ảnh hưởng cõa d¤ng chuyºn động và độ m£nh tới mèi li¶n h» giúa gi¡ trị lớn nh§t cõa tham sè ti¸t di»n và tham sè vªn tèc 4.3.4. Ảnh hưởng cõa t«ng và gi£m tèc Ảnh hưởng cõa tham sè ti¸t di»n ngang α tới gi¡ trị lớn nh§t cõa tham sè độ vãng max(fD) cõa d¦m lo¤i A và d¦m lo¤i B, như th§y tø H¼nh 4.15, là gièng nhau. Gi¡ trị max(fD) t«ng khi tham sè ti¸t di»n α t«ng. Tuy nhi¶n, so với d¦m lo¤i A th¼ d¦m lo¤i B ½t nh¤y c£m với sự thay đổi cõa tham sè ti¸t di»n ngang. Tỷ sè L=h cõa d¦m £nh hưởng tới gi¡ trị cõa max(fD) nhưng không làm thay đổi d¡ng điệu đường cong biºu thị sự phụ thuëc cõa max(fD) vào α.
24. 22 4.4. D¦m có cơ t½nh bi¸n đổi dọc Ảnh hưởng cõa tham sè vªt li»u 2.2 2.2 (L/h=5) n=1 (L/h=20) n=1 2 n=3 2 n=3 n=0(thép) n=0(thép) 1.8 1.8 1.6 1.6 D D f f 1.4 1.4 1.2 1.2 1 1 0.8 0.8 0.6 0.6 0 0.5 1 1.5 0 0.5 1 1.5 f f v v H¼nh 4.13: Mèi quan h» giúa tham sè độ vãng và tham sè vªn tèc cõa d¦m lo¤i A có cơ t½nh bi¸n đổi dọc chịu mët lực di động (α = 0:5) Đường cong biºu thị mèi quan h» giúa tham sè độ vãng fD với tham sè vªn tèc fv cõa d¦m có cơ t½nh bi¸n đổi dọc tr¶n H¼nh 4.13 có d¡ng điệu tương tự như đường cong cõa d¦m có cơ t½nh bi¸n đổi theo chi·u cao. Với h¦u h¸t c¡c gi¡ trị cõa tham sè vªn tèc, tham sè độ vãng fD cao hơn khi d¦m có tham sè vªt li»u n lớn hơn. Tương tự như d¦m có cơ t½nh bi¸n đổi dọc, điều này được gi£i th½ch bởi tỷ l» cõa th²p trong d¦m cao hơn khi ch¿ sè mũ n lớn hơn. K¸t luªn này đúng với c£ hai trường hñp cõa d¦m có tỷ sè L=h = 5 và L=h = 20. 4.5. D¦m li¶n tục Ảnh hưởng cõa t«ng và gi£m tèc Tø H¼nh 4.29, ta có thº rút ra c¡c nhªn x²t sau đây: Đường cong biºu thị mèi quan h» giúa fD và fv cõa d¦m chịu lực di động gi£m tèc không kh¡c xa nhi·u so với đường cong cõa d¦m chịu chuyºn động đ·u. Tr¶n quan điểm thực t¸, so với chuyºn động đều và chuyºn động gi£m tèc th¼ chuyºn động t«ng tèc ½t nguy hiºm hơn c£.
25. 23 1 1 a=0 a=0 a>0 a>0 0.8 a 0 a>0 0.8 a<0 0.8 a<0 D D f f 0.6 0.6 0.4 0.4 (nhip 3) (nhip 4) 0.2 0.2 0 1 2 3 3.5 0 1 2 3 3.5 f f v v H¼nh 4.29: Ảnh hưởng cõa t«ng, gi£m tèc tới mèi quan h» giúa tham sè vªn tèc và tham sè độ vãng cõa d¦m li¶n tục 4.6. Ảnh hưởng cõa vị tr½ mặt trung háa - Trường hñp h0 = 0: không t½nh tới £nh hưởng cõa mặt trung háa - Trường hñp h0 6= 0: có t½nh tới £nh hưởng cõa mặt trung háa Trong đó sai sè được định nghĩa như sau: f (h 6= 0) − f (h = 0) Sai sè = D 0 D 0 × 104% (4.11) fD(h0 6= 0) 4.7. K¸t luªn chương 4 C¡c k¸t qu£ sè nhªn được trong Chương 4 cho ph²p ta hiºu rã hơn v· ùng xû động lực học cõa d¦m FGM chịu c¡c lực di động. V· mặt thực t¸, k¸t qu£ sè trong chương giúp cho vi»c lực chọn vªt li»u cũng như thi¸t k¸ c¡c k¸t c§u làm tø FGM chịu lực di động.
26. KẾT LUẬN 1. C¡c ph¦n tû d¦m và chương tr¼nh sè ph¡t triºn trong Luªn ¡n có kh£ n«ng ph¥n t½ch k¸t c§u d¦m FGM có mặt c­t ngang thay đổi chịu c¡c lực di động với độ tin cªy cao. Vị tr½ cõa mặt trung háa £nh hưởng không đáng kº tới đáp ùng động lực học và có thº bỏ qua trong t½nh to¡n độ vãng và ùng su§t cõa d¦m FGM chịu lực di động. 2. Ứng xû động lực học cõa d¦m FGM chịu lực di động chịu £nh hưởng m¤nh bởi tỷ l» thº t½ch cõa c¡c vªt li»u thành ph¦n cõa FGM. Ngoài ra, tham sè ti¸t di»n ngang cõa d¦m £nh hưởng m¤nh tới đáp ùng động lực học cõa d¦m FGM chịu lực di động. Gi¡ trị lớn nh§t cõa tham sè độ vãng t«ng d¦n khi tham sè ti¸t di»n t«ng. 3. Chuyºn động t«ng tèc và gi£m tèc cõa lực di động không ch¿ làm thay đổi gi¡ trị cõa độ vãng cõa d¦m FGM chịu lực di động mà cán làm thay đổi d¡ng đi»u cõa đường cong biºu thị mèi li¶n h» giúa độ vãng và thời gian. 4. Sè nhịp cõa d¦m li¶n tục £nh hưởng tới độ vãng lớn nh§t t¤i giúa nhịp d¦m cũng như mèi quan h» giúa độ vãng và vị tr½ cõa lực di động. C¡c v§n đ· ph¡t triºn sau luªn ¡n 1. Ph¥n t½ch ùng xû động lực học cõa d¦m FGM trong môi trường nhi»t độ cao và mô phỏng ùng xû động lực học cõa d¦m FGM chịu t£i trọng di động tr¶n cơ sở lý thuy¸t d¦m bªc cao. 2. Ứng xû động lực học cõa d¦m FGM chịu t£i trọng di động kh¡c nhau và ùng xû động lực học d¦m sandwich FGM chịu t£i trọng di động. 24
27. C¡c công tr¼nh đã công bè K¸t qu£ cõa Luªn ¡n đã được công bè tr¶n c¡c T¤p ch½ Quèc t¸, T¤p ch½ Quèc gia, Đề tài c§p trường đã b£o v», Tuyºn tªp Hëi nghị Khoa học Quèc t¸ và Quèc gia, cụ thº: 1. Buntara S. Gan, Thanh-Huong Trinh, Thi-Ha Le, Dinh-Kien Nguyen (2015), "Dynamic response of non-uniform Timoshenko beams made of axially FGM subjected to multiple moving point loads", Structural Engineering and Mechanics, Vol. 53, No. 5, pp. 981-995. 2. Le Thi Ha, Nguyen Dinh Kien, Vu Tuan Anh (2015),"Dynamic be- havior of nonuniform functionally graded Euler-Bernoulli beams under multiple moving forces", Vietnam Journal of Mechanics, Vol.37, No. 3, pp. 151-168. 3. Thi Ha LE, Buntara S. GAN, Thanh Huong TRINH, Dinh Kien NGUYEN (2014), "Finite element analysis of multi-span functionally graded beams under a moving harmonic load", Mechanical Engineering Journal, Bul- letin of the JSME, Vol.1, No.3, pp. 1-13. 4. L¶ Thị Hà, Nguy¹n Đình Ki¶n (2014), ” Đáp ùng động lực học cõa d¦m FGM có thi¸t di»n thay đổi chịu nhi·u lực di động”, Hëi nghị Cơ học toàn quèc kỷ ni»m 35 n«m thành lªp Vi»n Cơ học, Hà Nëi, ngày 09 th¡ng 04 n«m 2014, trang 157-162 5. Dinh-Kien Nguyen, Buntara S. Gan, Thi-Ha Le (2013), "Dynamic re- sponse of non-uniform functionally graded beams subjected to a vari- able speed moving load", Journal of Computational Science of Tech- nology, JSME, Vol.7, No.1, pp. 12-27. 25
28. 26 6. L¶ Thị Hà (2013), Đáp ùng động lực học cõa d¦m FGM có thi¸t di»n thay đổi dưới t¡c dụng cõa t£i trọng di động, Đề tài c§p trường, Trường Đại học Giao thông Vªn t£i n«m 2013. 7. Le Thi Ha, Nguyen Dinh Kien (2012), "Dynamic response of a func- tionally graded Bernoulli beam to a moving load", Proceeding of the 2nd International Conference on Engineering Mechanics and Automa- tion (ICEMA-2), pp. 243-250. 8. Le Thi Ha, Nguyen Dinh Kien (2012), "Dynamic analysis of function- ally graded Timoshenko beams subjected to a moving mass by the finite element method", Hëi nghị Cơ học toàn quèc l¦n thù 9, Hà Nëi th¡ng 12 n«m 2012, trang 336-345. 9. L¶ Thị Hà (2012). "Đáp ùng động học cõa d¦m với c¡c gèi đỡ đàn hồi chịu t¡c động cõa khèi lượng di động", T¤p ch½ khoa học giao thông vªn t£i, sè 37- th¡ng 03, trang 54-58. 10. Nguyen Dinh Kien and Le Thi Ha (2011), "Dynamic characteristics of elastically supported beam subjected to a compressive axial force and a moving load", Vietnam Journal of Mechanics, Vol. 33, pp. 113-131.